集合の濃度に関する質問です

質問

可算無限集合Ａの濃度をα_0(アレフ０)
Ｒ^nの濃度をα_1(アレフ1) (nは自然数)
Ａの冪集合の濃度を2^α_0(2のアレフ0乗?)
※ヘブライ語のアレフの代わりに、αを使って記述してます。
なので以下αはアレフと読むことにします。

このとき
(1)α_0よりα_1のほうが"大きい"こと
(2)α_0より2^α_0のほうが"大きい"こと
の２つはわかったのですが、α_1と2^α_0ではどちらが大きいのですか？
それとも2^α_0=α_1なのでしょうか？

私の記憶では、α_1はα_0の次に"大きい"濃度と定義されていたような気がしますが・・それだとα_0より大きくα_1より小さい濃度は存在してはいけないことになりませんか？(つまり、α_1＞2^α_0の可能性はない)

来年度に数学科２年となる身なので、あまり高度な知識は持ち合わせていないです・・。すいません。

どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いします。

[補足]
(1)については
Ａが可算（自然数全体の集合Ｎとの間に１対１かつontoな写像ができる）である一方で、Ｒは対角線論法により非可算なので、α_0よりα_1のほうが"大きい"としました。（ＲとＲ^nの濃度が等しいことの証明は省略します）

(2)については
Ａの冪集合の濃度、つまり元の個数を、Ａの各元を含むか含まないかを1と２に対応させることで、小数0.122111222121122・・・・・の総数へと帰着し、あとはこの小数全体に対して対角線論法を用いることで、α_0より2^α_0のほうが"大きい"としました。

「Ａの各元を含むか含まないかを1と２に対応させる」とは、
たとえば、Ａ＝｛1,2｝であればＡの冪集合の濃度（個数）は2^2=4個ですが、これを
0,22⇔Φ(空集合)
0,12⇔｛1｝
0,21⇔｛2｝
0,22⇔｛1,2｝
というように小数に対応させるということです。

"大きい"という言葉の定義をしてないのでこの表現が曖昧かもしれませんが、上記のようにして"大きい"かどうかを判断しました。

回答No.3

mis_take · ベストアンサー

定義が違っています。
正しくは

アレフ0＝可算無限の濃度
アレフ＝実数全体の濃度＝２^アレフ0＞アレフ0
アレフ1＝最小の非可算濃度

「アレフ1＝アレフ」を連続体仮説と言います。
否定も肯定も証明できません（どちらもモデルを作ることができます）。

お礼

お二方とも回答ありがとうございます!
回答にあった、連続体仮説という言葉を今までいろいろ調べてみたのですが、残念ながら私には理解できないところがとても多くありました。
でも、公理に近いもの（証明不可能）なのかな？ぐらいの感覚は持ちました。（←この発言自体間違ってるのかも知れませんが、私にはそれもよくわかりません・・・。）

まだまだ知識がたりないようです。もう少し勉強してからまた考え直してみようと思います。

わざわざ回答していただきありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

おっと, CH を前提にする必要はなかった＞#1.

回答No.1

Tacosan

「R^n の濃度 aleph が aleph1 であるかどうか」は「連続体仮説」(Continuum Hypothesis, CH) と呼ばれ, ZFC 公理系のもとで決定不能じゃありませんでしたっけ?
それを大前提として, aleph1 は定義から aleph0 の次の濃度であり, また R^n の濃度は 2^aleph0 であることが分かってますから, 「R^n の濃度を aleph1」としたら自動的に aleph1 = 2^aleph0 です. もちろん, いわれる通りいかなる仮定のもとでも aleph1 > 2^aleph0 はあり得ません.