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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:濃度について。)

無限集合の濃度とは?不等号の使用法や有限集合についても教えてください

このQ&Aのポイント
  • 無限集合の濃度をアレフ(n)と表します。アレフ(0)<アレフ(1)<アレフ(2)< ・・・となります。アレフ(n)<アレフ(k)<アレフ(n+1)の関係については、ZFでは肯定も否定もできません。
  • 不等号(<)の使用法は、普通の演算の場合とは異なります。アレフ(0)は自然数の濃度を代表しており、アレフ(-1)は考慮しなくても良いとされます。また、有限集合の濃度という言葉は無限集合にのみ適用されることが一般的です。
  • 数学基礎論や対角線論法については一度理解できた瞬間があっただけで、現在は図を見ても理解できません。質問として、不等号(<)の使用法の違いやアレフ(0)の意味、有限集合の濃度について教えてほしいと思っています。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

1個ずつ: ・まず不等号の使い方: 有限基数 (ほぼ普通の非負整数のこと) で「a < b」と書けば「a は b より小さい」という意味ですが, 無限の基数においても同じように「a < b」は「a は b より小さい」ことを意味します. もちろん無限基数の場合は単純な大小関係が付かないので「濃度が a である集合 A」と「濃度が b である集合 B」の間に「A から B への単射が存在するが B から A への単射は存在しない」ときに「a < b」の関係が成り立つことになります. ・次: aleph0 は自然数の濃度ですが, 実は「aleph0 より小さな無限基数は存在しない」ことが証明されています. だから「それより小さいものはない」という意味を込めて aleph0 と「0」を付けています. ・最後に「濃度」という用語の使い方ですが, 本質的には有限集合・無限集合を問わず「濃度」ということは可能です. うまくイメージできないので「要素数」とか言うことが多いと思いますが.

whoduit
質問者

お礼

昨日に続き回答ありがとうございます。 (A--->Bの単射が存在するが B--->Aへの単射は存在しない)⇔(a<b)  (aleph0より小さな無限基数は存在しないことが証明されている。)  (有限集合/無限集合を問わず用語濃度OK)(有限集合では要素数)  事実関係を知りたいだけで必要かつ充分な回答で満足致しました。  今後も宜しく御願い致します。スレッドはこれで締めたいと思います。

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