濃度を求める問題

質問

次の集合
A = {S⊂R | Sは高々可算 }
の濃度を求めよ、という問題の解き方が分からず困っています。

以下、Nを連続濃度（アレフ）とします。
（アレフが入力できないので…すいません。）

写像 f :R→A , x ↦ {x} は単射なので、N≦ |A| である事が分かります。
さらにA⊂2^Rなので、|A|≦2^Nである事も分かります。

この後、どうしたらよいのかが分かりません。
Sが有限の場合なら解けるのですが、可算となると写像をどのように作ればいいかがピンときません。
濃度はNか2^Nになるのだと思いますが…

分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

R が何だかは書かれていないけれど、
R の濃度がアレフだとは書いてある。
R と実数全体の集合の間に全単射が存在する
のだから、その一つを通じて
R と実数全体の集合を同一視することができる。
よって、以下では両者を積極的に混同する。笑

A の各元 S は、集合として高々可算なのだから、
自然数で添字づけることができる。
S が有限な場合は末尾に定数列 0 を連結すると、
S は実数の無限列へと対応づけられる。
この対応は単射である。

更に、実数列 x[n] を数列 1/(1+exp(x[n])) へ
対応づけると、S は 0 から 1 までの実数の
無限列へと単射される。

その第 n 項の小数第 k 位を d[n,k] とすると、
S は十進数字を項に持つ二重数列 d へ単射される。

自然数の直積 (n,k) は可算だから、
自然数で添字づけることができる。
(有理数が可算であることの証明を参考に。)
この添字によって、自然数→(n,k)→d[n,k]
と対応づければ、d は十進数字を項に持つ
(一重添字の)数列へ単射される。

その第 n 項を小数第 n 位と見れば、
結局、S は 0 から 1 までの範囲の
一つの実数へと単射されたことになる。

すなわち、｜A｜≦アレフ。
…なんだかグダグダした証明だか。

お礼

Rは実数の集合、の意味で使っていました。
太線のRの入力方法がわからなかったので…
混乱させてしまい申し訳ありません。

alice_44さんの回答のおかげでなんとか解くことができました。
丁寧な回答どうもありがとうございました。

回答No.5

alice_44

それから、1=0.9999… 問題への言及は勘弁。
有限小数の末尾には、スナオに 0 を並べよう。

回答No.4

alice_44

そうだね。
0 の替わりに、どんな実数列を連結しても
同じことだし。

S を実数列へ写像したとき、有限列の末尾には
実数でない何か(虚数とか、ビアマグとか)
の列を連結しておいて、
正の実数列へ写像するとき、
その「何か」を 0 へ対応させればいい。

…ますます、グダグダが長くなるけど。

回答No.3

Tacosan

その作り方では {} と {0} が区別できなくなる (どちらも「全て 0 の実数列」になってしまう) ので厳密には「単射」にならないんじゃないかなと難癖をつけてみる＞#2.

でも, すぐに思い付く筋はそんなところ.

お礼

回答どうもありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

R ってなに?

あと, 「Sは高々可算」についても一応意味を確認させてください.

補足

Rは実数の集合、という意味でお願いします。
太線のRが入力出来ないためです。
申し訳ありません。

「Sは高々可算」はSの濃度が可算濃度以下、
つまり可算濃度（アレフゼロ）をN0とおけば、|S| ≦ N0
を意味しています。

分かりにくくてすみません。