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濃度を求める問題

次の集合 A = {S⊂R | Sは高々可算 } の濃度を求めよ、という問題の解き方が分からず困っています。 以下、Nを連続濃度(アレフ)とします。 (アレフが入力できないので…すいません。) 写像 f :R→A , x ↦ {x} は単射なので、N≦ |A| である事が分かります。 さらにA⊂2^Rなので、|A|≦2^Nである事も分かります。 この後、どうしたらよいのかが分かりません。 Sが有限の場合なら解けるのですが、可算となると写像をどのように作ればいいかがピンときません。 濃度はNか2^Nになるのだと思いますが… 分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

R が何だかは書かれていないけれど、 R の濃度がアレフだとは書いてある。 R と実数全体の集合の間に全単射が存在する のだから、その一つを通じて R と実数全体の集合を同一視することができる。 よって、以下では両者を積極的に混同する。笑 A の各元 S は、集合として高々可算なのだから、 自然数で添字づけることができる。 S が有限な場合は末尾に定数列 0 を連結すると、 S は実数の無限列へと対応づけられる。 この対応は単射である。 更に、実数列 x[n] を数列 1/(1+exp(x[n])) へ 対応づけると、S は 0 から 1 までの実数の 無限列へと単射される。 その第 n 項の小数第 k 位を d[n,k] とすると、 S は十進数字を項に持つ二重数列 d へ単射される。 自然数の直積 (n,k) は可算だから、 自然数で添字づけることができる。 (有理数が可算であることの証明を参考に。) この添字によって、自然数→(n,k)→d[n,k] と対応づければ、d は十進数字を項に持つ (一重添字の)数列へ単射される。 その第 n 項を小数第 n 位と見れば、 結局、S は 0 から 1 までの範囲の 一つの実数へと単射されたことになる。 すなわち、|A|≦アレフ。 …なんだかグダグダした証明だか。

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質問者からのお礼

Rは実数の集合、の意味で使っていました。 太線のRの入力方法がわからなかったので… 混乱させてしまい申し訳ありません。 alice_44さんの回答のおかげでなんとか解くことができました。 丁寧な回答どうもありがとうございました。

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その他の回答 (4)

  • 回答No.5
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

それから、1=0.9999… 問題への言及は勘弁。 有限小数の末尾には、スナオに 0 を並べよう。

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  • 回答No.4
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

そうだね。 0 の替わりに、どんな実数列を連結しても 同じことだし。 S を実数列へ写像したとき、有限列の末尾には 実数でない何か(虚数とか、ビアマグとか) の列を連結しておいて、 正の実数列へ写像するとき、 その「何か」を 0 へ対応させればいい。 …ますます、グダグダが長くなるけど。

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  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

その作り方では {} と {0} が区別できなくなる (どちらも「全て 0 の実数列」になってしまう) ので厳密には「単射」にならないんじゃないかなと難癖をつけてみる>#2. でも, すぐに思い付く筋はそんなところ.

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質問者からのお礼

回答どうもありがとうございました。

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

R ってなに? あと, 「Sは高々可算」についても一応意味を確認させてください.

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質問者からの補足

Rは実数の集合、という意味でお願いします。 太線のRが入力出来ないためです。 申し訳ありません。 「Sは高々可算」はSの濃度が可算濃度以下、 つまり可算濃度(アレフゼロ)をN0とおけば、|S| ≦ N0 を意味しています。 分かりにくくてすみません。

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