• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

和集合と濃度の関係について

こんにちは。 集合論の本を読んでいて、わからないところがあります。お力をお貸しください。 わからないところは、ベキ集合のベキを無限にとることによって、無限濃度の可算増加列が得られるが、その可算列の先のさらに大きな濃度の集合Mをとることができるというところです。 自然数の集合Nのベキ集合をB^1(N)とし、そのベキ集合のベキ集合をB^2(N)とすれば、上述の無限濃度の増加列が、「|N|<|B^1(N)|<|B^2(N)|<…<|B^n(N)|<…」として得られます。 このとき、M=⋃(n=1から∞)B^n(N)とおけば、「|B^n(N)|<|M|」が導かれるというのです。 私の疑問は、「n=1から∞」までのB^n(N)の和集合の濃度が、本当に|B^n(N)|を超えるのか?というところです。 といいますのも、アレフにアレフゼロを足してもアレフのままであるように、和集合が単純にB^n(N)より大きくなるとは言えないんじゃないか?と思うからです。 この論理の根拠は(すなわち和集合と濃度の関係についての上述の論証の根拠は)どのようなものなのでしょうか? アドバイスお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数234
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • tmpname
  • ベストアンサー率68% (191/278)

正確に書けば M=⋃(n=1から∞)B^n(N)とおけば、『任意の自然数nに対し、|B^n(N)|<|M|が成り立つ』、ですよね。 任意の自然数nを取ってくると、Mの定義から明らかに|B^n(N)|< |B^(n+1)(N)| ≦|M|でしょう?(だってM⊃B^(n+1)(N)ですし)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ありがとうございます! 正確に書けばその通りです!!すべてのnに対してとありました! ミソとなっているのは、『「任意の自然数n」と「∞」の関係』ということですか? どのような自然数nをとってきてもそれを超えるn+1ないし∞が後に続いているということでしょうか? どうも可算増加列「1<2<3<…<n<…」を与えて、「この可算列の先」という言い方をすると 『「1<2<3<…<n<…」+α』のαを考えてしまいます。ここではあくまでも「1<2<3<…<n<…」の内で、任意のnとその先の話のことを議論していると考えてよいでしょうか? ?ばかりで申し訳ありません…。 お願いします。

関連するQ&A

  • アレフ0とアレフ1の和集合、、、

    無限集合における確率に関して疑問が生じましたので、質問させてください。 集合Aをアレフ0の無限集合とする。 集合Bをアレフ1の無限集合とする。 集合Aと集合Bの積集合は空集合である。 集合Cを集合Aと集合Bの和集合とする。 質問1:任意に選んだ「集合Cの要素」が、集合Bの要素である確率を求めることができますか? 質問2:求めることが出来る場合、その確率は1ですか、1/2ですか、それともその他の確率ですか? (蛇足) 質問3:上記の定義を変更し、集合A、集合Bの濃度が同じだった場合、集合Cから選んだ任意の要素が集合Bの要素である確率は1/2と考えてよいでしょうか?

  • 集合の濃度に関する質問です

    可算無限集合Aの濃度をα_0(アレフ0) R^nの濃度をα_1(アレフ1) (nは自然数) Aの冪集合の濃度を2^α_0(2のアレフ0乗?) ※ヘブライ語のアレフの代わりに、αを使って記述してます。 なので以下αはアレフと読むことにします。 このとき (1)α_0よりα_1のほうが"大きい"こと (2)α_0より2^α_0のほうが"大きい"こと の2つはわかったのですが、α_1と2^α_0ではどちらが大きいのですか? それとも2^α_0=α_1なのでしょうか? 私の記憶では、α_1はα_0の次に"大きい"濃度と定義されていたような気がしますが・・それだとα_0より大きくα_1より小さい濃度は存在してはいけないことになりませんか?(つまり、α_1>2^α_0の可能性はない) 来年度に数学科2年となる身なので、あまり高度な知識は持ち合わせていないです・・。すいません。 どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いします。 [補足] (1)については Aが可算(自然数全体の集合Nとの間に1対1かつontoな写像ができる)である一方で、Rは対角線論法により非可算なので、α_0よりα_1のほうが"大きい"としました。(RとR^nの濃度が等しいことの証明は省略します) (2)については Aの冪集合の濃度、つまり元の個数を、Aの各元を含むか含まないかを1と2に対応させることで、小数0.122111222121122・・・・・の総数へと帰着し、あとはこの小数全体に対して対角線論法を用いることで、α_0より2^α_0のほうが"大きい"としました。 「Aの各元を含むか含まないかを1と2に対応させる」とは、 たとえば、A={1,2}であればAの冪集合の濃度(個数)は2^2=4個ですが、これを 0,22⇔Φ(空集合) 0,12⇔{1} 0,21⇔{2} 0,22⇔{1,2} というように小数に対応させるということです。 "大きい"という言葉の定義をしてないのでこの表現が曖昧かもしれませんが、上記のようにして"大きい"かどうかを判断しました。

  • アレフ0より小さな濃度をもつ無限集合

      アレフ0(可算集合の濃度)より小さな濃度をもつ無限集合はありますか。  

その他の回答 (1)

  • 回答No.2
  • tmpname
  • ベストアンサー率68% (191/278)

そもそも無限が絡む議論をしているのに、そんな「感覚」で捕えようとしてどうするのですか。一つ一つ「定義は何か」ということを、感覚でとらえないで定義から正確に把握して議論してください。 例えば数列(a_n)が与えられた時、lim_(n→∞)a_nというのは「∞」というのを使わない形で定義されているでしょう?数列におけるlim_(n→∞)a_nというのはどういう定義だったでしょうか。 それと同様にそもそも⋃(n=1から∞)B^n(N)の定義を正確に理解しているでしょうか?一度補足に書いてください。その上で、私が書いた説明について不明な点があれば、改めて書いてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

お返事が遅れてしまい大変申し訳ありません。 数学には定義が大切なんだと痛感いたしました… ありがとうございました!

関連するQ&A

  • 濃度についてーその2

      任意の集合はそのべき集合を作り続けることによって、無限に増大する濃度を持つ集合列が生成できることは証明されています。 例えばこれを可算集合から開始した場合、 可算集合の濃度=アレフ0 可算集合のべき集合の濃度=アレフ1 可算集合のべき集合のべき集合の濃度=アレフ2 可算集合のべき集合のべき集合のべき集合の濃度=アレフ3         ・         ・         ・         ・ 以下無限に続く。 このように無限に増大する濃度を持つ集合列アレフ0、アレフ1、アレフ2、・・・・が生成されます。 また同様にして連続体から開始した場合、 連続体の濃度=ベート0 連続体のべき集合の濃度=ベート1 連続体のべき集合のべき集合の濃度=ベート2 連続体のべき集合のべき集合のべき集合の濃度=ベート3         ・         ・         ・         ・ 以下無限に続く。 このように無限に増大する濃度を持つ集合列ベート0、ベート1、ベート2、・・・・が生成されます。 さて質問です。 1. 任意の自然数nに対して適当な自然数mを取ることにより、ベートn=アレフmを成立させることが出来ますか。 2. 任意の集合に対しその濃度をAとするとき、適当な自然数mやnを取ることによりA=アレフm、A=ベートnを成立させることが出来ますか。  

  • 有理数集合の濃度は非可算?!

    有理数集合の濃度は非可算?! 有理数集合Qの濃度は可算ですが、以下のように考えたところQ(の部分集合)が非可算無限集合になってしまいました。 どこが誤りかご教授願います。 正の有理数は素数のベキを用いて 2^α×3^β×…(α,β,…∈Z) で一意的に表される。 素数の個数は可算無限個なので Q+とZの可算無限個の直積が一対一対応する。 このときZも可算無限集合なので、可算無限集合の可算無限直積で非可算無限集合になる。 よってQ+は非可算無限集合である。

  • 閉円板の和集合として表すことができる図形はどのようなもの?

    ユークリッド平面のあらゆる開集合は、(一般には無限個の)開円板の和集合として表すことができます。 実際、U を開集合とすると、 U の各点 x に対して、 x を中心とする十分小さい半径ε(x)の開円板 B(x,ε(x)) は U に含まれるから、このような B(x,ε(x)) すべての和集合 ∪[x∈U]B(x,ε(x)) は U に等しい。 ここで、開円板の変わりに「閉」円板を考え、その和集合を考えると、どういった集合になるのか気になりました。 ちょっと考えれば、開円板は閉円板の無限個の和集合で表すことができるので、 ユークリッド平面のあらゆる開集合は、(一般には無限個の)閉円板の和集合として表すことができる ことにもなります。 しかし、開円板も閉円板も半径は正と考えるので、 1点は閉円板の和集合として表すことができない ことになります。なので、 閉集合は閉円板の和集合として表すことができるときもできないときもある ことになります。 たとえば、三角形の内部と周を含む領域は、閉円板の和集合として表すことができなさそうです。 三角形の内部と周を含む領域から3つの頂点をのぞいた図形は、閉円板の和集合として表すことができそうです。 位相幾何学では、図形の性質を言い換える、ことが多いと思うのですが、「閉円板の和集合として表すことができる」という性質をなにか別の言葉で言い換えたいと考えています。 一般に、閉円板の和集合として表すことができる図形はどのようなものなのでしょうか?

  • 無限集合に関することです。

    無限集合に関することです。 自然数全体を可算無限個の互いに交わらない集合A1,A2,A3・・・(どのAkも可算無限集合)の和として表わされることを示したいのですがどうすれば良いですか? 可算無限集合は自然数全体の集合との間に1対1対応の関係がある集合のことなのに、自然数全体を互いに交わらない集合で示せるのでしょうか?

  • 濃度について。

    無限集合の濃度をアレフ(n)と書きます。 (1) アレフ(0)<アレフ(1)<アレフ(2)< ・・・ (2) アレフ(n)<アレフ(k)<アレフ(n+1) kの存在はZFでは肯定も否定もできない。 数学基礎論はおろか対角線論法も1度理解出来たと思った瞬間があっただけで今は図を見ていても頭痛するだけで全く理解できません。 質問です。 ○不等号(<)の使用法は普通の演算3<4とは相違していると思いますがどうなのでしょうか。 ○アレフ(0)は代表として自然数の濃度なのでアレフ(-1)は考慮しなくて良い、集合そのものが存在しないという事で良いでしょうか。 ○有限集合の濃度=アレフ0とやると何か変なので濃度という用語は無限集合だけに適用されるということでしょうか。 みっつも質問がありますが知っている人は知っていて知らない人は覚えたいので宜しく御願い致します。

  • 濃度を求める問題

    次の集合 A = {S⊂R | Sは高々可算 } の濃度を求めよ、という問題の解き方が分からず困っています。 以下、Nを連続濃度(アレフ)とします。 (アレフが入力できないので…すいません。) 写像 f :R→A , x ↦ {x} は単射なので、N≦ |A| である事が分かります。 さらにA⊂2^Rなので、|A|≦2^Nである事も分かります。 この後、どうしたらよいのかが分かりません。 Sが有限の場合なら解けるのですが、可算となると写像をどのように作ればいいかがピンときません。 濃度はNか2^Nになるのだと思いますが… 分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。

  • 無限集合の連続体濃度のよりも大きな濃度?

    http://ufcpp.net/study/set/cardinality.html#carginality 上記のサイトを眺めておりましたところ、下記の記述に出会いました。 ===引用=== 余談になりますが、 この記号 ‭א は、 ヘブライ文字の1文字目で、ギリシャ文字のα、ローマンアルファベットの a の元になった文字です。 無限基数の中で小さいものから順に、 ‭א0 , ‭א1 , ‭א2 , ・・・ と表します。 昔は、 無限基数を小さいものから順に、 ヘブライ文字の第 n 文字目で表していました (aleph, beth, gimel, daleth, ・・・)が、 読めないし、写植の上でもなかなか表示できないので、 アレフの右下に添字を付ける今の表記法になりました。 ===引用終わり=== 恥ずかしながら、無限集合の濃度の事を聞いて以来、無限集合の濃度は下限が ‭א0で上限がא1なのかと勝手に思っておりました。 ところが、上述のように、 ‭א0 , ‭א1 , ‭א2 , ・・・ ということでありますと、俄然 ‭ ‭‭א2の濃度を持つ無限集合に興味が湧いてまいりました。 連続体濃度よりも濃度が大きい無限集合とはどのような集合でしょうか? 数学の素人なものですから、直観的に理解できそうな実例を一個・二個、お示し頂けるとありがたいです。

  • σ集合体

    集合 X Xのすべての部分集合を2^Xとする。 2^Xはσ集合体になることを示したいのですが、どのように証明すればいいでしょうか。教科書では明らかみたいですが....。 (σ集合体) 空集合 全体集合 は明らか。 補集合の示し方? 可算和集合の示し方? 

  • 可算無限集合と非可算無限集合の違いが分かりません。

    例えば、こういう問題のときそれぞれ可算無限集合と非可算無限集合のうちどっちですか? (1)0≦x≦1を満たす実数x (2)任意の自然数N (3)任意の実数R 回答よろしくお願いします。

  • 濃度の厳密な定義はもはや不可能なのですか?

    識者の皆様宜しくお願い致します。 最近,集合位相入門(松坂和夫)を購入し拝読しておりますがこの本のp65にて 『濃度は"集合全体の集まり"を対等関係によって類別したときの各"同値類"である。実は集合全体の集まりというのは、我々が今まで考えていた意味での集合ではないが、"類別"の考えを少し広めて用いることは当然認めてもよいだろう』 という記述がありますが,これは正確に解釈すると 『濃度は"集合全体の集まり"を対等関係によって類別したときの各"同値類"である。実は集合全体の集まりというのは、我々が今まで考えていた意味での集合ではないが、"類別"の考えを少し広めて用いることは当然認めてもよいだろうが万一ダメだったとしても当方は一切責任持ちません』 と見て取れ,何とも歯切れの悪い定義だなぁと感じました。 結局,濃度(という同値類)はφと有限集合{1,2,…,n}と可算集合N(=:アレフ_0)とアレフ_0の非可算集合Rとアレフ_1の非可算集合2^R,アレフ_3の非可算集合3^R,… と可算個に類別できるのだと思います。 濃度の厳密な定義を知りたいのですがこの "実は集合全体の集ま…ことは当然認めてもよいだろう" の箇所の曖昧さをすっきり解消させるにはどう記述すればいいのでしょうか? 公理的集合論の書籍でさえも濃度の定義の際に「集合全体の集まりを類別する」という表現をさり気なく記述せずに類別によって濃度の定義をしているようです。 濃度を厳密に定義する場合,どういう手順で類別を定義すればいいのでしょうか? また, 歯切れのいい濃度の定義をしてある書籍やサイトがあれば是非ご紹介下さい。