和集合と濃度の関係について

このQ&Aのポイント
  • 集合論のベキ集合の性質に関する疑問について解説します。
  • ベキ集合のベキ集合を無限にとることによって得られる無限濃度の可算増加列が存在する。
  • その可算列よりもさらに大きな濃度の集合を取ることができるかどうかが疑問となっています。
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和集合と濃度の関係について

こんにちは。 集合論の本を読んでいて、わからないところがあります。お力をお貸しください。 わからないところは、ベキ集合のベキを無限にとることによって、無限濃度の可算増加列が得られるが、その可算列の先のさらに大きな濃度の集合Mをとることができるというところです。 自然数の集合Nのベキ集合をB^1(N)とし、そのベキ集合のベキ集合をB^2(N)とすれば、上述の無限濃度の増加列が、「|N|<|B^1(N)|<|B^2(N)|<…<|B^n(N)|<…」として得られます。 このとき、M=⋃(n=1から∞)B^n(N)とおけば、「|B^n(N)|<|M|」が導かれるというのです。 私の疑問は、「n=1から∞」までのB^n(N)の和集合の濃度が、本当に|B^n(N)|を超えるのか?というところです。 といいますのも、アレフにアレフゼロを足してもアレフのままであるように、和集合が単純にB^n(N)より大きくなるとは言えないんじゃないか?と思うからです。 この論理の根拠は(すなわち和集合と濃度の関係についての上述の論証の根拠は)どのようなものなのでしょうか? アドバイスお願いします。

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  • tmpname
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回答No.1

正確に書けば M=⋃(n=1から∞)B^n(N)とおけば、『任意の自然数nに対し、|B^n(N)|<|M|が成り立つ』、ですよね。 任意の自然数nを取ってくると、Mの定義から明らかに|B^n(N)|< |B^(n+1)(N)| ≦|M|でしょう?(だってM⊃B^(n+1)(N)ですし)

heygibson
質問者

補足

ありがとうございます! 正確に書けばその通りです!!すべてのnに対してとありました! ミソとなっているのは、『「任意の自然数n」と「∞」の関係』ということですか? どのような自然数nをとってきてもそれを超えるn+1ないし∞が後に続いているということでしょうか? どうも可算増加列「1<2<3<…<n<…」を与えて、「この可算列の先」という言い方をすると 『「1<2<3<…<n<…」+α』のαを考えてしまいます。ここではあくまでも「1<2<3<…<n<…」の内で、任意のnとその先の話のことを議論していると考えてよいでしょうか? ?ばかりで申し訳ありません…。 お願いします。

その他の回答 (1)

  • tmpname
  • ベストアンサー率67% (195/287)
回答No.2

そもそも無限が絡む議論をしているのに、そんな「感覚」で捕えようとしてどうするのですか。一つ一つ「定義は何か」ということを、感覚でとらえないで定義から正確に把握して議論してください。 例えば数列(a_n)が与えられた時、lim_(n→∞)a_nというのは「∞」というのを使わない形で定義されているでしょう?数列におけるlim_(n→∞)a_nというのはどういう定義だったでしょうか。 それと同様にそもそも⋃(n=1から∞)B^n(N)の定義を正確に理解しているでしょうか?一度補足に書いてください。その上で、私が書いた説明について不明な点があれば、改めて書いてください。

heygibson
質問者

お礼

お返事が遅れてしまい大変申し訳ありません。 数学には定義が大切なんだと痛感いたしました… ありがとうございました!

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