>整数、偶数、奇数の濃度は等しいのでしょうか?
その通りです。
ただ、「濃度」や「真部分集合」のような、ギョ~カイ用語^^を使うと、数学の得意な人は、自分たちの仲間のタマゴやヒヨコだと思って、細かい部分にツッコミを入れてくるので、本当はそうでなく、そういうことに興味のある素人さんだったら(私もそのお仲間ですが^^)、もっと普段使う言葉、自分の頭の中で使っている言葉で質問なさると、もっと、親切な回答が、例えば、
「どんな自然数も、2倍したら偶数になるので、自然数の個数と(プラスの)偶数の個数は同じになるような気がしますが、普通に考えていると、偶数は整数の半分しかないような気もします。ひょっとしたら、偶数は整数の半分しかないというのは、いくらまでという限りがある範囲で考えているせいで、限りがない場合には、個数が同じと考えないといけないのですか?」
のように質問すれば、
「(大体)その通りですが、細かい点を説明すると…」とか
「限りがなければ、個数は数えてしまえる訳ではないので、そういうときには『濃度』というギョ~カイ用語を使いますが、筋道としては、そういう感じで問題ないでしょう」
などという回答が返ってきやすいと思います。
質問者さんの場合、先に、応用編^^の方で、疑問を持ち、その質問に対して得られた、応用寄りの回答で覚えた言葉・概念を使って、基本編^^の方を考えようとされたので、質問が、ちょっと生煮え気味になったのかもしれません。順番が逆、というか、普通の本で説明してある順番、普通の人が疑問を抱く順番で、ご質問なさると、もっと解りやすかったかも。
ごく普通の言葉づかいで、入口の話だけすると、
一番、基本の無限が、自然数の個数?で、
当然、これは1番・2番・…と自然数の番号を振っていくことができる。
そこから、可付番無限と呼ばれ、前の質問の回答にあった言葉を使うと、
実数や虚数の個数?はもっと多くて、アレフ1、こっちは、アレフ0と呼びます。
(アレフ0より小さい無限はあるか、とか、間くらいの大きさの無限はないのか、
などになると、もっと面倒な議論が必要だったり、数学的にも結論が出ていな
かったりと面倒なので、ここではツッコまず^^、興味があれば、このへんの基礎が
解ってから、本格的に勉強してください)
では、整数の個数?は、というと、
0,+1,-1,+2,-2,… と並べると、すべての整数が出てくるし、
1番・2番と番号を振ることができるので、個数?は同じ?
ただ、個数を数えると、例えば、-100~100では、0もあるので、
整数は自然数の倍くらいあることに。
上の番号付けで考えても、数はすべて、絶対値100以内という制限が
あれば、100番目に+50がくると、101番目の-50や、102番目の+51あたり
からは、番号付けができなくなり、整数は自然数の倍くらいというのが
成り立ってしまう。
つまり、番号付けをする=1対1対応の関係を調べることと、
実際に個数を数えることは、数に限りのある中では、
基本的に同じことになっています。
ところが、制限を付けない話になると、そもそも、個数を数えること
自体ができなくなります、そこでどうするか、というと、そこからは
個数そのものではなくなるので、とりあえず、個数?と書くことにして、
有限のときには、個数を数えることと、1対1対応の関係を調べることは
おなじことだったんだから、無限になってもできる、1対1対応関係を
比べることを、個数?を考えるときのルールにする、
すると、整数と自然数の個数?は同じ、同じ考え方をあてはめると、
自然数nと、プラスの偶数2n、プラスの奇数2n-1は、1対1対応をする、
2,4,6,8,…にも、1,3,5,7,…にも、1番・2番・…と番号をふって、
いけるから、プラスの偶数の個数?や奇数の個数?も、自然数の個数?
と同じ、0やマイナスを含めた偶数や奇数にも、自然数⇒整数で考えた
のと同じようなことが成り立つから、一般の偶数や奇数の個数?も、
自然数の個数?と同じ、
こういうことは、どうかすると、小学生向けの数学解説書にも書いて
いたりすることなので、細かい部分は、何か解りやすい解説書を読んで
もらうことにして、さらには、有理数の個数?は、自然数の個数?と同じ、
ということまで成り立ちます。
ところが、実数の個数?になると、それよりはるかに多いことも解る。
それで、アレフ0とか1とかいって区別されています。
また、個数?というのもアヤシイ用語なので、もうちょっと数学的に
キチンと決めたものを、上の仮想質問・回答で書いたように「濃度」
という訳です。
ルールの決め方はそれでよかったの?という疑問が湧くかもしれませんが、
例えば、整数は自然数の倍くらい、という常識を残せるようなルールの
作り方が全く考えらなかった訳ではないと思いますが、こういう場合、
すべての常識がいつも残せる訳じゃなく、何か他の常識を捨てないと
いけなくなる、どっちを捨てた方が、より合理的だったり、有益だったり、
シンプルで美しいだったり、という判断で、考えた人だけじゃなく、
数学者(場合によっては多分野の学者も)全体として、なされた、という
ことです(誰かが提唱して、運悪く人に知られずに、以外の理由で、
生き残れなかったルールや理論などいくらでもあります)。
補足
ご回答ありがとうございます。 集合として大きいというのは 数が大きいということと同一視しておりました。 今までは、有限集合のみについて考えていたので 無限集合においてはそのまま濃度として 置き換えて考えた結果、集合として大きいのに 濃度が等しいってどういうこと?という疑問が 出てきた次第です・・・ alice_44さんがおっしゃっている比べているものが違うと いうのは具体的に何が違うのでしょうか? お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。