複素数 実数 集合 濃度

質問

複素数と実数について質問させて頂きます。

実数は有理数と無理数をあわせた数（複素数から虚部を除いた数）
と認識しています。

添付にイメージ図を記載しました。
このイメージ図が間違っているのでしょうか？

集合としては実数より複素数が大きいと思います。
しかし、複素数と実数の濃度は等しいと教えて頂きました。

濃度とは、有限集合でいうところの数だと認識しています。

集合として複素数が大きいのに、複素数と実数の濃度が等しい
事が不思議でなりません・・・
複素数の集合は実数の集合と虚数の集合を合わせたものなのに
なぜ、複素数と実数の数は等しくなるのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

Mokuzo100nenn · ベストアンサー

Alice_44先生よりも素人っぽい説明をトライしてみます。

連続体濃度で考える前に加算濃度の無限集合を考えます。

最初に、二元数の無限集合が一元数の無限集合と一対一対応することを確認します。
二元数とは二次元座標系の様に、（X,Y)で表すことが出来る数です。
大きさが無限の碁盤の目を想像してください。
縦方向にXを割り当て、横方向にYを割り当てると、無限に大きな碁盤の目で全ての可算無限の二元数が割り当てられることが分かります。
つぎに、自然数Nをもってきて、碁盤の目を斜めに割り当てます。図を書くのが面倒なので言葉で説明すると、

（１，１）＝１
（２，１）＝２
（２，２）＝３
（３，１）＝４
（３．２）＝５
（３，３）＝６
（４，１）＝７
　・・
　・・
　・
と割り当てて行けば、すべての升目に自然数Nを一対一で対応させることができます。
したがって、二元数の可算無限の濃度は、自然数と同じ、つまりアレフ０であることが分かります。

連続体濃度でも同じように対角線で対応を考えると、実数Rと複素数X+Yiが一対一対応をすることが分かります。
（数学的にはここの詰めが甘いとこなのですが、イメージはつかみやすいと思います。）
このことから複素数と実数がおなじ濃度アレフ１を持つことが分かります。

連続体濃度の二元数は平面と考えることができます。したがって、上記のことは、直線の中にある点の数と、平面の中にある点の数が同じであるという、摩訶不思議なことを証明しています。
立体空間に中に取れる全ての点（＝3元数）と、線分の中に取れるすべての点も一対一対応することが分かります。
まさに無限であることからの違和感がありますが、点を元とする無限集合は、直線でも、平面でも、立体でも、濃度が同じという事です。

ご参考まで。

お礼

ご回答ありがとうございます。
わかりやすいイメージで理解できました。

ありがとうございました。

回答No.1

alice_44

「濃度」の基本事項を本で復習し、
実数も複素数も無限集合であることを
確認してください。

無限集合の定義は、その集合の真部分集合と
等濃度であることです。
無限でない集合のことを、有限集合と呼びます。

複素数が、その真部分集合である実数と等濃度
であることは、複素数が無限集合であることを示しています。

お礼

ご回答ありがとうございました。