超複素数から更に拡張された数は?

質問

数の拡張について知りたく思っております。

自然数に負数の概念を加えると整数
↓
整数に分数の概念を加えると有理数
↓
有理数に無理数の概念を加えると実数
↓
実数に純虚数の概念を加えると複素数
↓
複素数に二重数・双対数・4元数の概念を加えると超複素数

でここから先にも数は拡張されているのでしょうか?

回答No.2

quaRk-6 · ベストアンサー

「八元数」なるものが存在します。
そして、矛盾のない数体系は実数、複素数、４元数、８元数だけだそうです。
しかし、
４元数：掛け算の交換法則が成り立たない
８元数：掛け算の結合法則が成り立たない
ので、＃１さんのおっしゃるとおり数として扱うのは稀です。
但し、４元数は３次元・４次元の空間に、
８元数は７次元・８次元の空間に
対応させられるということで、
これらの空間の性質を理解するうえで便利、ということはあります。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

兎に角、複素数を拡張した数らをひっくるめて超複素数と呼ぶのですね。

自然数(モノイド)⊂整数(環)⊂有理数(体)⊂実数(体)⊂複素数(体)⊂超複素数(多元環)

> 「八元数」なるものが存在します。
これも超複素数の一種で多元環の構造をなしているのですね。

超複素数は
複素数(i^2=-1を満たすa+bi)、
二重数(i^2=1を満たすa+bi)、
双対数(i^2=0を満たすa+bi)、
4元数、
8元数
ケーレー環
があるのですね。これらはみな多元環の構造をなすのですね。
これら以外には以外には超複素数と呼ばれるものは存在しないのでしょうか?

それと後、包含関係はどのようになっているのでしょうか?

複素数⊂4元数⊂8元数
で8元数からは拡張不可能となっているとは予想できますが、
残りの二重数、双対数、ケーレー環の包含関係はどうなっているのでしょうか?

回答No.1

rinkun

超複素数という言葉を初めて聞いたのでちょっと調べてみましたが、実数や複素数のような一つの実体ではなく、四元数やケーレー環のような複素数より大きい数体系全般を指す言葉のようですね。そういう意味ではこれ以上に拡張することは不可能です。（全て超複素数になる）
一般論としては多元環論でしょうが、複素数より大きい数体系は色々と不都合が多いので、一般的に数として扱うこと自体が稀でしょう。

お礼

ご回答有難うございます。

今まで、数の拡張は複素数までだとばかり高校以来思っておりまして最近、超複素数なるものを知りました。

超複素数とは多元環の一種で数の拡張は超複素数でおしまいになるのですね。