実数の構成

質問

こんにちは。今有理数から実数を構成しています。その方法としては、有理数aに収束するすべての有理数の数列を考え、その同値類を実数と定義し、
コーシー列の定義（ε-n法）によって実数に収束する実数列を考えてきました。

今以下のような問題が与えられています。

１．　x^2=2　となるような実数xがあることを示せ。
２．　bが有理数の時,bに収束する無理数の数列がある事を示せ。

まず１についてですが、背理法によりxが有理数にならない事を証明し（証明済み）そうすればｘは無理数になるとしたかったのですが、今の段階でこの世に有理数と無理数しかないと想定してはいけないので、この方法は使えそうもありません。

今の所無理数とは上に述べたaに収束するすべての有理数の数列の値域以外にある数を言うようです。

２．に関しては、有理数の数列ならば、コーシー列の定義により可能なのですが、お手上げです。どなたか詳しいかた証明法やアイデア等、詳しく教えてください。宜しくお願いします。

回答No.5

koko_u_ · ベストアンサー

>√2の値を最初から想定しないとそういう数列は作れないのではないですか？
そんなことはなかろう。√2の存在を念頭に置きつつ、数列

a_{n+1} = 1 + 1/(a_n + 1) , a_1 = 1

のような例を考えることは可能です。

{a_n} が Cauchy 列で、それが表わす実数をαとすると α^2 = 2 が成立することを示しましょう。

お礼

分かりました。参考にさせていただきます。どうもありがとうございました。

回答No.6

tecchan22

２．は０に収束する無理数列をつくればＯＫですね。

１．は色々つくれるでしょう。
ａ(ｎ)を、
(1)√２の小数表示の上からｎ＋１桁（小数点以下ｎ桁までの有限小数ｘのうち、x^2＜２を満たすものの最大値を取れば良い）
(2)ｙ＝x^2－２とｘ軸との交点のｘ座標の正の方を、ニュートン法で数列にする。

などなど、他にも色々できますよね。
＃５さんの例もありますし。

お礼

数列の例は色々あるんですね。参考になりました。どうもありがとうございました。

回答No.4

Tacosan

「x^2 = 2 となる実数が存在する」ことを示すんだから, 定義に戻るんでしょうね.
まずは, 「2乗した値が 2 に収束する」ような有理コーシー列を作る.
で, well-defined であることを示すために, 「そのような数列を 2つもってきたときに, (符号以外は) 同じ値に収束する」ことを証明するんでしょうかね.

回答No.3

koko_u_

>有理数aに収束するすべての有理数の数列を考え、その同値類を実数と定義し
それだと足りない。有理数列の Cauchy列全体の同値類を考えて下さい。

問題1.については、定義に戻るのがもっとも早いでしょう。
例えば√2 に収束するような有理数の数列の例を知りませんか？

問題2.は 1.で√2 を「発見」したので後は容易だと思います。

補足

>>例えば√2 に収束するような有理数の数列の例を知りませんか？
それですと、√2の値を最初から想定しないとそういう数列は作れないのではないですか？もしそういう数列があるなら教えて下さい宜しくお願いします。

回答No.2

masudaya

こんなに困るのであれば,今の実数構成方法とデテキントの切断や,カントールの区間収縮法,コーシー列などによる構成方法との同値性を示し,後は好きな方法を用いればいいと思います.(同値性は解析概論 高木の第1章にあったと思います.)

例えば,1は
a1=1,a2=1.4，a3=1.41,a4=1.414,・・・
とすれば,√(2)に収束するコーシー列が構成できますが...

例えば,2も
ｃｎ=b√(1-(1/dn))
として,dnをn番目の素数とすれば多分,目的を果たせるのではないかと思います.

回答No.1

noname#44733

＞この世に有理数と無理数しかないと想定してはいけないので

有理数でない実数が無理数なんだからＯＫじゃないでしょうか？

２については任意の無理数ｚについて、ｂとｚの間に別の無理数がある、という方針でどうですか？