実数の連続性（超実数が存在しないこと）をデデキント

質問

実数の連続性（超実数が存在しないこと）をデデキントの切断をつかって背理法で証明してください。
有理数から無理数を定義するのとおんなじようなかんじでできませんか？（；＿；）

お願いします（；＿；）

回答No.2

stomachman

「実数の連続性」とは「連続の公理」を満たすということ。連続の公理を満たす順序体は（同型のものを同一視すると）ひとつしか存在しないんで、実数体Rを「連続の公理を満たす順序体」として定義できる訳です。
　さて、「連続の公理」の互いに同値な表現が様々知られていて、それぞれとても有用ですけれども、それらのうちでご質問に一番即していると思われるのは、

○（デデキントの公理）: 全順序集合Rの切断を<A, B>とする。（すなわち、A∩B=∅, A∪B=R, ∀x∀y(x∈A ∧ y∈ B ⇒ x＜y)。）任意の切断について、Bに最小元があるか、Aに最大元があるとき、Rは連続であると言う。

という表現でしょう。
　すると、「有理数から無理数を定義するのとおんなじようなかんじで」実数体Rの切断をやってみても、（実数の連続性⇔デデキントの公理から）実数しか出て来ない。以上おしまい。

　なので、実数体の切断では超実数を定義できないし、超実数体は「連続の公理を満たす順序体」ではあり得ない。しかし、これが意味するのは「超実数が存在しないこと」ではなくて、「超実数がどういうものではあり得ないか」という制約だけです。

回答No.1

alice_44

それをやっても、
実数体は実数でない超実数を元に持たない
という自明な結果しか得られない気がする。