コーシー列

質問

こんにちは。

有理数の数列S1, S2 がそれぞれ有理数a,bに収束して、a=bと仮定する時S1とS2が同値である事を証明せよ、

そしてS1とS2が同値である時もa=bが言えることも証明せよ。

という問題なのですが、一見するとコーシー列の定義|S1-a| <ε　に当てはめて、aとｂを入れ替えたら、S1はbに収束して同様にS2はaに収束するようになるからS1とS2は同じ数列と言えるとわかるのですが、これをきちんと証明するにはどういう風に書けばいいでしょうか？両方の場合について教えてください。詳しく書いていただけると大変助かります。宜しくお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

ほとんど答えのヒント.
前半:
am - bn = (am - a) - (bn - b) + (a - b) で今は仮定から a = b なので
|am - bn| ≦ |am - a| + |bn - b|.
S1, S2 がそれぞれ a, b に収束することから
∀ε>0 ∃N1 ∀m≧N1 |am - a| ≦ ε/2 かつ ∀ε>0 ∃N2 ∀n≧N2 |bn - b| ≦ ε/2.
この 2つをうまく組合せると |am - bn| ≦ ε となります.

後半:
a - b = (bn - b) - (am - a) - (bn - am) だから
|a - b| ≦ |bn - b| + |am - a| + |bn - am|
に注意して上と同じような議論をすると
任意の ε>0 に対し |a - b| ≦ ε
となるので a = b.

お礼

どうもありがとうございました。とてもよく理解できました。またお世話になります。

回答No.1

Tacosan

2つの数列が「同値」であるということの定義くらい書こうよ.

補足

2つのコーシー列｛an},{bn}について与えられたεに対して、|am - bn| <ε　m.n>Nになる　ようなNが存在する時、｛an},{bn}は同値でありA二重波線B（すいません二重波線の打ち方が分かりませんでした）と表すことが出来る。これが定義です。宜しくお願いします。