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コーシー列
{a_n},{b_n}がコーシー列であるとき{a_n±b_n},{a_n*b_n}もまたコーシー列であることを示せ。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 仮定より任意のε＞０に対して、自然数Nが存在して、n,m≧N_1ならば｜a_n-a_m|＜εである。また任意のε＞０に対して、自然数N_2が存在して、s,t≧N_2ならば｜b_s-b_t|＜εである。このさきの助言が欲しいです・・・・・
- haveagolde
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- kabaokaba
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>{a_n±b_n},{a_n*b_n}もまたコーシー列であることはどうやって示すのでしょうか？ 定義にしたがって，引き算して式変形するだけです 絶対値の三角不等式を使うのがポイント 例： |(an-bn)-(am-bm)| = |(an-am)-(bn-bm)| <= |(an-am)| + |(bn-bm)|
- kabaokaba
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N_1とN_2のうち小さくない方をNとおけば n,m>=Nであるならば ｜a_n-a_m|＜ε ｜b_n-b_m|＜ε である． こんなところです．
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お礼
ありがとうございます。{a_n±b_n},{a_n*b_n}もまたコーシー列であることはどうやって示すのでしょうか？