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コーシー列

  • 質問No.4040521
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Q(有理数全体の集合)の2つのコーシー列{an},{bn}について、
 
 (1){an+bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。
 (2){an-bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。

この問題の解き方がわかりません。

『{an-bn}がコーシー列』⇔m>n,lim[n→∞]{(am-bm)-(an-bn)}=0
⇔m>n,lim[n→∞]{(am-an)-(bm-bn)}=0
m>n,lim[n→∞](am-an)、lim[n→∞](bm-bn)は共に収束するので、
limの分配ができて

以下、続きを教えてください。

回答 (全2件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 31% (61/192)

通常、こういう問題を証明するときはいきなり{an+bn}について考えるわけではなく、{an},{bn}がそれぞれコーシー列なので
lim[n,m→∞]|An-Am|=0
lim[n,m→∞]|Bn-Bm|=0

ここで、
0<|(An+Bn)-(Am+Bm)|
=|(An-Am)+(Bn-Bm)|≦|An+Am|+|Bn+Bm|(∵三角不等式)
これではさみうちをすれば(1)は解けるんではないでしょうか?
  • 回答No.1

ベストアンサー率 18% (459/2509)

とりあえず、コーシー列の定義が間違っているので再度勉強して下さい。
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