コーシー列に関する証明問題

質問

問、｛an｝（n=1,2,…）をQの中のコーシー列とする。
　　bn=an+(1/2n) と定めるとき、
　　{an}～{bn} (n=1,2,…) (同値)であることを証明せよ。

という問題で、同値関係の推移律の証明を教えてください。

特に、任意のQの中の３つのコーシー列を{an},{bn},{cn}とした時、
任意の正の有理数εに対して、{an}～{bn}より、
N1<m,n ⇒ ｜(am-bm)-(an-bn)|< ε/2　とできる。
とありますが、なぜ、ε/2 になるのかわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

もう 1つ似た式がでて, これも右辺が ε/2 (になるはず) なので足すと ε だからきれいだよね～って感じかな.
どんなのでもいいんだけど, 最後に ε を出したいんでしょう. だから, 例えば 2ε/3 と ε/3 でもいいんだけど, 対称的な話なので 2ε/3 と ε/3 だと読む人が理解しにくかったりします (むしろ「なぜ 2:1 の比なんだろう」などと邪推してしまう).

回答No.2

ujitaka

後半部分の
任意の正の有理数εに対して、{an}～{bn}より、
N1<m,n ⇒ ｜(am-bm)-(an-bn)|< ε/2　とできる。
についてですが、{an}～{bn}より、ｎ大きくすると｜an-bn|の値を
いくらでも0に近づけることができます。
｜(am-bm)-(an-bn)| ≦｜am-bm|＋｜an-bn|
右辺の２つの絶対値の中は両方ともε/4より小さくできます。（なぜなら、{an}～{bn}より差をいくらでも小さくできることと、εは定数）
よって、 ｜(am-bm)-(an-bn)|< ε/2

回答No.1

Tacosan

質問の内容は
・そのような定数がとれるのはなぜか
・なぜ ε ではなく ε/2 なのか
のどちらでしょうか?
前者は「同値」というとこから出てくるんでしょうし, 後者はそのあととの関係 (あとに出てくる式をきれいな形にしたい) でしょうね.

補足

質問の内容は、
・なぜ ε ではなく ε/2 なのか
です。
その答えは、そのあととの関係 (あとに出てくる式をきれいな形にしたい)だけですか？