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コーシー列に関する証明問題
問、｛an｝（n=1,2,…）をQの中のコーシー列とする。 bn=an+(1/2n) と定めるとき、 {an}～{bn} (n=1,2,…) (同値)であることを証明せよ。 という問題で、同値関係の推移律の証明を教えてください。 特に、任意のQの中の３つのコーシー列を{an},{bn},{cn}とした時、 任意の正の有理数εに対して、{an}～{bn}より、 N1<m,n ⇒ ｜(am-bm)-(an-bn)|< ε/2 とできる。 とありますが、なぜ、ε/2 になるのかわかりません。 よろしくお願いします。
- zoku0855
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もう 1つ似た式がでて, これも右辺が ε/2 (になるはず) なので足すと ε だからきれいだよね～って感じかな. どんなのでもいいんだけど, 最後に ε を出したいんでしょう. だから, 例えば 2ε/3 と ε/3 でもいいんだけど, 対称的な話なので 2ε/3 と ε/3 だと読む人が理解しにくかったりします (むしろ「なぜ 2:1 の比なんだろう」などと邪推してしまう).
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- ujitaka
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後半部分の 任意の正の有理数εに対して、{an}～{bn}より、 N1<m,n ⇒ ｜(am-bm)-(an-bn)|< ε/2 とできる。 についてですが、{an}～{bn}より、ｎ大きくすると｜an-bn|の値を いくらでも0に近づけることができます。 ｜(am-bm)-(an-bn)| ≦｜am-bm|＋｜an-bn| 右辺の２つの絶対値の中は両方ともε/4より小さくできます。（なぜなら、{an}～{bn}より差をいくらでも小さくできることと、εは定数） よって、 ｜(am-bm)-(an-bn)|< ε/2
- Tacosan
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質問の内容は ・そのような定数がとれるのはなぜか ・なぜ ε ではなく ε/2 なのか のどちらでしょうか? 前者は「同値」というとこから出てくるんでしょうし, 後者はそのあととの関係 (あとに出てくる式をきれいな形にしたい) でしょうね.
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