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コーシー列

  • 質問No.5257062
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お礼率 86% (13/15)

Q(有理数全体の集合)の2つのコーシー列{an},{bn}について、
 
{an+bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。

コーシー列の定義より
|(am - an) + (bm - bn)| ≦ |am - an| + |bm - bn|

までできたのですが、このあと『ε』と上の式をどうやっていけばいいのか分かりません。教えて下さい。

最初の方も間違っているのであれば、詳しく教えて欲しいです!お願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 58% (1093/1860)

0 ≦ |(am - an) + (bm - bn)| ≦ |am - an| + |bm - bn|
までできたのなら、
|am - an| → 0
|bm - bn| → 0
なので、
|(am + bm) - (an + bn)| → 0
ではだめなのですか?


コーシー列{An}の定義は、
lim[n,m→∞]|An-Am|=0
εを使って書けば、
∀ε>0 ∃k∈N n,m≧k n,m∈N → |An-Am|≦ε  (Nは自然数の集合)
日本語で簡単に書けば、
任意のε>0に対し、n,m≧kなら|An-Am|≦εとなるkが存在する。


問題の証明は、
任意のε>0に対し、n,m≧kなら|(am+bm)-(an+bn)|≦εとなるkが必ず存在することを示せばいいのだから、
|am-an|≦ε/2 となる k1 と、|bm-bn|≦ε/2 となる k2 のうち大きいほうを k とすれば、
|(am+bm)-(an+bn)|=|(am-an)+(bm-bn)|≦|am-an|+|bm-bn|≦ε/2+ε/2=ε
QED.
お礼コメント
pu-ko2255

お礼率 86% (13/15)

丁寧に回答いただきありがとうございます!
今まで分からなかった点がかなり理解できました!

またよろしくお願いします。
投稿日時:2009/09/03 08:30

その他の回答 (全3件)

  • 回答No.4

ベストアンサー率 30% (137/450)

No.2です。
だめだしは1番目の方へのものではありません。
1番目の方の答えでよいと思います。

質問者さんが、コーシー列の定義を確認していないと
思ったので書いたのです。誤解されたのなら申し訳ありません。

コーシー列の定義より
|(am - an) + (bm - bn)| ≦ |am - an| + |bm - bn|

となっているのですが、この書き方では
コーシー列の定義を理解していないと判断しました。
お礼コメント
pu-ko2255

お礼率 86% (13/15)

回答、いつもありがとうございます。
コーシー列の定理は、パソコンで打てなかったので省いて書かせて頂きました。

またよろしくお願いします。
投稿日時:2009/09/03 08:25
  • 回答No.3

ベストアンサー率 38% (442/1154)

え゜?
ダメじゃありませんよ。
No.1 のダメ出しをするとしたら、
εδ式中の m,n に「∀」が付いてないことぐらい。
あれで十分です。
お礼コメント
pu-ko2255

お礼率 86% (13/15)

回答ありがとうございます。
誉めてもらってすごく嬉しかったです。少し自信がつきました。

またよろしくお願いします。
投稿日時:2009/09/03 08:28
  • 回答No.2

ベストアンサー率 30% (137/450)

まったくだめです。
ここに補足で、
コーシー列の定義を書いてみてください。
教科書を見ながら正確に書いてくださいね。
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