0 ≦ |(am - an) + (bm - bn)| ≦ |am - an| + |bm - bn|
までできたのなら、
|am - an| → 0
|bm - bn| → 0
なので、
|(am + bm) - (an + bn)| → 0
ではだめなのですか？
コーシー列{An}の定義は、
lim[n,m→∞]|An-Am|=0
εを使って書けば、
∀ε>0 ∃k∈Ｎ n,m≧k n,m∈Ｎ → |An-Am|≦ε (Ｎは自然数の集合)
日本語で簡単に書けば、
任意のε>0に対し、n,m≧kなら|An-Am|≦εとなるkが存在する。
問題の証明は、
任意のε>0に対し、n,m≧kなら|(am+bm)-(an+bn)|≦εとなるkが必ず存在することを示せばいいのだから、
|am-an|≦ε/2 となる k1 と、|bm-bn|≦ε/2 となる k2 のうち大きいほうを k とすれば、
|(am+bm)-(an+bn)|=|(am-an)+(bm-bn)|≦|am-an|+|bm-bn|≦ε/2+ε/2=ε
QED.
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