数列の収束について

質問

コーシー列である数列｛（n,1/n)}と｛（n,1/n^2)}が０に収束することを証明せよという問題です。どちらも定義
任意の（どんな小さな）ε＞0に対して（でも）、
　　　　| an －α|＜ε／2　(n≧N )　　　　　　　　　
　　　　　　を満たす自然数Nが存在する。
を使って証明しようと思ったのですが、anに1/nと1/n^2を、αに０を入れてから先にいけません。どなたか詳しい方なるべく詳しく教えてください。宜しくお願いします。

回答No.3

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

|an－α|＜ε (n≧N)
an=1/n, α=0として、任意の正数εに対して、
0＜1/N＜ε　を満たす N が存在する事を示す。

これを示すのは単なる不等式の問題です。

・右の不等式を解くと、N＞1/ε となります。
　数列{n}＝{1, 2, 3, ・・・}は上に有界ではないので（ここ重要！）、
　N＞1/ε を満たす N は存在する。

・ε＝0.001と言われたら N＝1001とすればよい。もっと小さくても大丈夫。
・N 以上の全ての n について不等式は成立するから、
　anが0に収束する事が証明された。

an=1/n^2の時は、不等式が、0＜1/N^2＜ε となりますから、
N＞1/√εとすればよい。εをどのような値に指定されても、
それに対して N をとることができる。
なぜならば、数列{n}＝{1, 2, 3, ・・・}は上に有界ではないので。

「任意の」ε＞0 に対して、「ある」自然数 N が「存在する」というのがパターンです。

補足

丁寧な回答どうもありがとうございます。2つ疑問なのですが、まず数列{n}＝{1, 2, 3, ・・・}は上に有界ではないというのは数学的にどう証明するんでしょうか？それと、1/n^2の場合ですが、有理数のみを考えて証明はできますか？宜しくお願いします。

回答No.4

ka1234

＞数列{n}＝{1, 2, 3, ・・・}は上に有界ではないというのは数学的にどう証明するんでしょうか？

{n}が有界であるとすると、単調増加列であるから、極限値 L を持つ。
（単調性の証明分かりますか？一応証明付けておきます。
　an=nとすると、Δan=a(n+1)-an=(n+1)-n=1＞0 より単調増加である。
（証明終わり））

ε－N 論法を使えば、任意のε＞0 に対して、ある N が存在し、
n≧N となる全ての整数 n について、|n－L|＜ε が成り立つ。

すなわち、0＜L－n＜ε　（単調増加なので、Lの方がnより大きい）
特に、ε＝1 としてみると（これが定跡）、0＜L－n＜1
∴ L＜n＋1となるが、n＋1∈{n}なので矛盾する（上界Lを超えてしまった）。
従って{n}は有界ではない。（証明終わり）

＞1/n^2の場合ですが、有理数のみを考えて証明はできますか？

pq-N 論法で示す。（そんなものは無いです）
任意の有理数 (q/p)^2 (p,q∈自然数)に対して、ある自然数 N が存在し、
n≧Nとなる全てのnに対して、|1/n^2-0|＜(q/p)^2 (n≧N)
となるような N が存在することを示す。
0＜1/N^2＜(q/p)^2 より、N＞p/q、{n}は上に有界ではないので、
これを満たす N は存在する。（証明終わり）

お礼

丁寧な解説どうもありがとうございました。すっきりしました。またよろしくお願いします。

回答No.2

joggingman

記号を変えて書き直します。

任意のε＞０に対し、ある正整数Ｎを、1/Ｎ＜ε　をみたすようにとる
ことができるので、ｎ≧Ｎ　である任意の正整数ｎについて、
｜a(n)-0|=|1/n -0| ≦ |1/N -0| < ε

任意のε＞０に対し、ある正整数Ｎを、1/Ｎ＜√ε　をみたすようにとる
ことができるので、ｎ≧Ｎ　である任意の正整数ｎについて、
｜a(n)-0 | =|1/n^2 -0| ≦ |1/N^2 -0| < ε

普通の教科書では、｜a(n)－α｜＜ε　（ｎ≧N）で、ε/2とするのなら、
任意のε/2＞０に対し、ある正整数Nを、1/N<ε/2（または1/N<√(ε/2)）　
をみたすようにとる
・・・
となります。

回答No.1

joggingman

教科書どおりやってみますと、

任意のε＞０に対し、ある正整数ｎ0を、1/n0＜ε　をみたすようにとる
ことができるので、ｎ＞n0　である任意の正整数ｎについて、
｜a(n)-0|=|1/n -0| < |1/n0 -0| < ε

任意のε＞０に対し、ある正整数n0をを、1/n0＜√ε　をみたすようにとる
ことができるので、ｎ＞ｎ0　である任意の正整数ｎについて、
｜a(n)-0 | =|1/n^2 -0| < |1/n0^2 -0| < ε

ということになるかと思います。