有界数列の収束半径

質問

問題
{ａn}が有界数列ならば、Σ(0,∞)ａn z^nの収束半径Ｒ≧１を示せ
が分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。分からなければ収束半径の定義に戻りましょう。
収束半径は

1/R = limsup_{n→∞}|a_n|^(1/n)

{a_n}が有界数列より、適当な正数Kが存在して

|a_n|≦K　(for all n)

ゆえに、
1/R = limsup_{n→∞}|a_n|^(1/n)
　　≦limsup_{n→∞}K^(1/n)
　　=lim_{n→∞}K^(1/n)
　　=１

よって、R≧１

回答No.1

fusem23

ａn が定数なら、
Σ(0,∞)ａn z^n = ａnΣ(0,∞) z^n
ですよね？
z^n は等比数列ですので、その和が収束する条件は分かるはずです。
あとは、{ａn}が有界数列であることを使えば、ａn を何かに置き換えて、不等式が成り立ちます。