収束半径について

質問

収束半径について

Σ(n=0,∞)(z^n/(n!))
に比判定法を適用したところ
z/(n+1)
がでてきました。

なぜ収束半径が∞なんでしょうか？
zが∞だとn→∞にしても∞/∞になってしまいこれは∞か1になってしまうのではないでしょうか？
しかし、先生はz/(n+1)はn→∞でゼロに収束すると言っていました。
なぜなんでしょうか？

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

あぁ、失礼。x は z の誤字でした。
頭が悪いどころか、目と性格が
ずいぶん良いじゃないですか。

その眼力でよく探せば、
L は No.4 内で定義してありますよ。
c_k の項比の極限です。

お礼

やっと理解できました。
多分、まだ、なんとなく理解できたというような程度だと思いますが、これからもっと深めていきたいと思います。
教科書というのは、そういう解説がないからダメですよね。
小学生でも誰にでも理解できるというような教科書が発明されればいいんですけどね。
そしたら、もっと勉強に意欲が湧くと思うんですが。
そういう研究をされている方はいらっしゃらないんですかね。
自分で考えるのが一番大切なんですが、そのための架け橋としてもっと分りやすい解説というものぜひ教科書でしてほしいです。
ほんとに長々とありがとうございました。

回答No.5

alice_44

私も、頭が良くなくて、
補足質問の主旨がよく解りませんが…

L ＞ 0 かつ ｜x｜・L ＜ 1 を
｜x｜ ＜ 1/L と変形する過程が解らない
ということでしょうか？

補足

というか、|x|はやLはどこから出てきたんですか？

回答No.4

alice_44

「収束半径」という用語の定義を確認しましょう。
収束半径が ∞ というのは、z に ∞ が代入できるということではありません。
|z|＜収束半径 のときにベキ級数が収束するということであって、
|z|≦収束半径 ではないのです。したがって、代入する z は有限値だけです。

収束半径を求めるダランベールの公式の由来を思い出してみましょう。
級数の収束についてのダランベールの判定法というのがあって、
各項が正の級数 Σ[k=1→∞] a_k を考えるとき、
lim[k→∞] a_k+1 / a_k が収束していれば、
その極限が ＜1 なら級数は収束、＞1 なら級数は発散するのでした。

この判定法を、ベキ級数 Σ[k=0→∞] (c_k)z^k の絶対級数に適用すると、
lim[k→∞] |(c_k+1)z^(k+1)| / |(c_k)z^k|
= |z| lim[k→∞] | c_k+1 / c_k | が収束していれば、
|z| lim[k→∞] | c_k+1 / c_k | < 1 ならベキ級数は収束することになります。
lim[k→∞] | c_k+1 / c_k | = L > 0 であれば、|x| < 1/L が収束の条件だし、
lim[k→∞] | c_k+1 / c_k | = 0 であれば、任意の x で Σ(c_k)z^k は収束します。
このことを、便宜的に「収束半径が ∞ である」と言うのです。

質問の問題の場合、ダランベールの判定法によって、
lim[n→∞]z/(n+1) < 1 となるような z について Σ[n=0→∞]z^n/(n!) は収束します。
lim[n→∞]z/(n+1) = z lim[n→∞]1/(n+1) = z・0 < 1 なので、z は任意でよい。
このとき z は「任意の有限値」を考えているのです。

補足

|z| lim[k→∞] | c_k+1 / c_k | < 1 ならベキ級数は収束することになります。
ここまではなんとなく理解できましたが、つぎの行で、|x|というものがいきなり出てきたり、|x|<1/Lとか意味が分りません。どうだからどうなってこうなると言うことをいちいち説明していただかないと自分には理解できません。バカなんで、本当に頭の良い人にとって簡単なことでも分らないんです。どうかバカのために優しい説明をお願いします。

回答No.3

naniwacchi

#2です。

＞つまり、分子や分母になる前は∞に発散してもそれを割り算すれば、
＞ある有限の値に近づくということですよね？
必ずそうなるというわけではないですね。
これも例になりますが、a(n)＝ n^2、b(n)＝ nだったら、a(n)/b(n)は無限大に発散しますね。

実は、分母・分子の関数をそれぞれテイラー展開（xの多項式として展開）したときに、
・同じ次数であれば、有限確定値に収束し、
・分母の次数が高ければ、0に収束。
・そして、分子の次数が高ければ、発散する。

ということになります。
確か、収束半径の話のもとはこのあたりだったと思うのですが・・・（少し記憶があいまいです。）

＞ということは、分子や分母になる前ものは∞に発散するものでもいいから、
＞zは大きな値をとっていいということでしょうか？
いまの問題では、あくまでも zは「定数」ですよね。
ですから、必ず有限の値をもっているはずです。
分子が有限である限り、分母→ ∞となれば、全体は 0に収束しますね。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

∞（無限大）は数値として扱うと、とんでもない誤りに陥ります。

#1さんも指摘されているとおり、zはあくまでも有限な値です。
ですので、いくら大きな zをとったとしても、nはさらに限りなく大きくなるので、0に収束することになります。
結果として、zはいくらでも大きな有限値をとることができるので、収束半径が ∞と言われるのです。

＞∞/∞になってしまいこれは∞か1になってしまうのではないでしょうか？
これも違います。
たとえば a(n)＝ 2n+ (1/n), b(n)＝ n+ (1/n)とします。
n→ ∞のとき、それぞれの数列は無限大に収束します。

ところが a(n)/b(n)を考えると、
a(n)/b(n)
＝ { 2n+ (1/n) }/{ n+ (1/n) }]
＝ { 2+ (1/n^2) }/{ 1+ (1/n^2)}
→ 2（n→ ∞）

となります。つまり、∞ or 1ではないのです。

無限大は、数ではなく状態を表していると思った方がよいです。
ですので、通常の演算は適用できません。

補足

つまり、分子や分母になる前は∞に発散してもそれを割り算すれば、ある有限の値に近づくということですよね？
ということは、分子や分母になる前ものは∞に発散するものでもいいから、zは大きな値をとっていいということでしょうか？

回答No.1

koko_u_u

>zが∞だとn→∞にしても∞/∞になってしまいこれは∞か1になってしまうのではないでしょうか？

∞なんて値はないでしょう？