Σ[n=0,∞] n! ・ z^nの収束半径を求めよ。

質問

Σ[n=0,∞] n! ・ z^nの収束半径を求めよ。

…で答えが0になっています。これは、もしかして

Σ[n=0,∞] n!
=Σ[n=0,∞] n!/(n+1)!　←ダランベールの収束判定条件
=Σ[n=0,∞] 1/(n+1)
= 0

…だから、という説明で合っていますか？

回答No.1

Ginzang · ベストアンサー

確かにダランベールの条件を使うのだが、使い方がおかしい。

ダランベールの条件というのは、数列 {a_n} に対し、n→∞ で | a_(n+1) / a_n | が発散する（または、収束しても1より大きくなる）なら、Σ[n=0,∞] a_n は発散する、というものである。
これを、a_n = n! * z^n に対して愚直に当てはめると、
| a_(n+1) / a_n | = (n+1)z 、
これが z=0 以外で発散するのは明らかだろう。
だから、Σ[n=0,∞] n! * z^n は z が 0 のとき以外には収束しない。

お礼

遅くなりました。
なるほど、まず自分の計算が根本から間違っていましたね。
| a_(n+1) / a_n |
= | { (n+1)!・z^(n+1) } / { n!・z^n } |
= | { n!・(n+1)・z^n・z } / { n!・z^n } |
= | { (n+1)・z } / 1 |
= (n+1)z

> これが z=0 以外で発散するのは明らかだろう。
> だから、Σ[n=0,∞] n! * z^n は z が 0 のとき以外には収束しない。

そうやって求めたのですね。納得です。
ありがとうございました！

補足

後でお礼します。しばらくお待ち下さい。m(__)m