数列の収束

質問

次のような問題です。

a_1=1,a_n+1=1/(1+a_n)の漸化式で定まる数列を考える。
このとき数列a_nが収束することを示せ。

こんな問題なのですが、分かりそうでわかりません。
実際、順に書き並べていくと分子・分母がフィボナッチ数列になり一般項は求められないこともないですが、複雑すぎてここから収束性を示すのは難しいと思います。
また、この数列は有界なことは分かりましたが単調数列じゃないので収束性は示せませんし・・・

だれか分かるかたいましたら解答お願いします。

回答No.5

KI401 · ベストアンサー

まず、私自身も覚え違いをしていて不正確な言い方をしてしまったのでちょいと訂正。

普通黄金比は、φ = (√5 + 1) / 2 とおくことが多い。
今議題になっている数は (√5 - 1) / 2 なので、ただの黄金比の親戚だ。
　ψ = (√5 - 1) / 2
とでも置くと、φψ=1, φ=ψ+1 が成り立ち、黄金比と裏表のような関係にあることが分かる。

>#2.補足
> 私はなぜこの数列が収束すると言えるのかが分からないのです。
> 図的な説明でなく厳密な証明があればお願いします。

目立たない書き方をしたもんで読み流されてしまったんだと思うけど、

> 厳密に解くなら、上のxの値をφとでもして、b_n = 1 / (a_n - φ)とおくといい。

の方針で一般項を出せるはずで、一般項が出せれば収束も従ってくる。
それでは満足行かないだろうか？

　上のφ、ψを用いる。
　b_n = 1 / (a_n - ψ) と置くと、
　b_n+1 = - ψb_n - 1
　よって、b_n = φ^2 + (-ψ)^(n+1) → ∞ (n→∞)
　∴a_n = 1/b_n + ψ → ψ (n→∞)

細かい計算は間違ってるかもしれない（なんせこの時間寝ぼけてるので）が、
新しく置いた数列 b_n が等比級数的に大きくなることからすぐに a_n が ψ に近づくことが言える。
# 途中計算は自分でやってみてくれ。φとψの関係式を使えば何も難しくない。

と言うか、フィボナッチ数列の一般項を使っても多分同じ結果になると思う。。。
（フィボナッチ数列の一般項もφ及びψで表されているしね。およそ形が見えている）

お礼

１年以上ほったらかしにしてて本当に申し訳ありませんでした。
以後、このようなことがないようにします。

質問に関しては無事解決しました。
回答ありがとうございました。

なお、１番詳しく説明していただいたKI401さんの回答をベストアンサーとさせていただきます。

回答No.6

zk43

極限値がαとすると、α＝1/(1+α)より、α＝(√5-1)/2となり、
a(n)-αとa(n-1)-αの関係式からanが収束することは示せます。
または、a(n+2)-a(n)を計算して、a(n)-a(n-2)との関係式を
出すと、a(n+2)-a(n)とa(n)-a(n-2)とは同符号であることが
分かります。
（a(n+2)=(1+a(n))/(2+a(n))、a(n)=(1+a(n-2))/(2+a(n-2))
の差をとる。）
a(1)>a(3)、a(2)<a(4)より、帰納的に奇数項は単調減少、
偶数項は単調増加であることが分かります。
a(n+1)=1/(1+a(n))、a(1)=1より、各項は、1/2以上1以下で、
有界であることも分かります。
よって、偶数項、奇数項はそれぞれ収束します。
その極限値をそれぞれα、βとすると、
α＝1/(1+β）、β＝1/(1+α）
より、α＝β＝(√5-1)/2と、極限値は一致し、a(n)は収束
することが言えます。
極限値をはさんで、右左右左…と動きながら収束するということですね。
y=xと、y=1/(1+x)のグラフで考えると、分かりやすいのですが・・・
元は、黄金数の連分数展開からとった問題ですね。

お礼

１年以上ほったらかしにしてて本当に申し訳ありませんでした。
以後、このようなことがないようにします。

質問に関しては無事解決しました。
回答ありがとうございました。

回答No.4

rabbit_cat

不動点の収束性に関する定理を使えば一発。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E5%8B%95%E7%82%B9#.E5.8F.8E.E6.9D.9F.E6.80.A7
大学受験生であれば、f(x)=1/(1+x) と置いて
平均値の定理を用いて証明することになります。
最近、似た質問に答えたので、それを参照してください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5004140.html

回答No.3

Tacosan

a(n+1) - φ = 1/(1+a(n)) - 1/(1+φ) = (φ-a(n))/[(1+a(n))(1+φ)]
ですね.

お礼

１年以上ほったらかしにしてて本当に申し訳ありませんでした。
以後、このようなことがないようにします。

質問に関しては無事解決しました。
回答ありがとうございました。

回答No.2

KI401

黄金比。連分数。

f(x) = 1 / (1+x) とおいて、y = f(x) と y = x のグラフを書けば、
a_n = f^n(0) が間にある交点に収束していくことはすぐに分かる。
（かなり図的な説明だが。）

漸化式から、特性方程式を立ててみる:
　x = 1 / (1+x)
　( 0 < x < 1 )
（上のｆを用いれば、これは x = f(x) という方程式に他ならない。
　つまり、このｘは交点のｘ座標を表している）

解は、x = ( - 1 + √5 ) / 2
よって a_n はこの値に収束する。

厳密に解くなら、上のxの値をφとでもして、b_n = 1 / (a_n - φ)とおくといい。
多分すんなりとまとまった形になるハズ。

で、少し書き出してみると分かると思うが、この数列は次のように書くことができる:

　a_n
　= 1 / (1 + a_n-1) = 1 / (1 + (1 / (1 + a_n-2)))
　= …
　= 1 / (1 + (1 / (1 + (1 / …… ))))

最初の特性方程式の方も、右辺のxに右辺そのものを"代入"したら、
同じように無限に続く分数(連分数)が得られる。
(手元の紙に、 / ではなくて分数の形で書いてみてほしい。)

と、まぁ連分数と黄金比の美しい世界へご招待、というわけだ。
興味があったらその辺ググってみるといいよ。うん。
有名な数列だと思うから、調べれば出てくるはず。

お礼

１年以上ほったらかしにしてて本当に申し訳ありませんでした。
以後、このようなことがないようにします。

質問に関しては無事解決しました。
回答ありがとうございました。

補足

えっと収束するときの値の求め方は、このようにやるのは分かっているんです。
それが黄金比ということは知りませんでしたが・・・

私はなぜこの数列が収束すると言えるのかが分からないのです。
図的な説明でなく厳密な証明があればお願いします。

回答No.1

koko_u_u

>分子・分母がフィボナッチ数列になり一般項は求められないこともないですが

フィボナッチ数列の一般項ってただの指数表記のアレですよね。複雑ですか？

お礼

１年以上ほったらかしにしてて本当に申し訳ありませんでした。
以後、このようなことがないようにします。

質問に関しては無事解決しました。
回答ありがとうございました。

補足

すみません、複雑すぎるというのは言い過ぎました。
しかし、フィボナッチ数列の一般項を使ったところでこの数列が収束するかどうかは分からないので困っている状況です。