数列が収束するかの証明問題

質問

数列{a_n}{b_n}を写真のように定める。
（a_n,b_nはすべて正数とする）
a_n,b_nが同じ値に収束することをしめしなさいという問題なのですが、
流れとしては、

1)
a_n=b_nならば代入すれば、a_(n+1)=b_(n+1)
数学的帰納法（？）で数列{a_n}{b_n}は同じ値に収束する

2)
a_n>b_nとして、
b_n=√(b_n*b_n)<√(a_n*b_n)=b_(n+1)
a_n=2(a_n)^2/2(a_n)>2a_n*b_n/a_(n)+b_n=a_(n+1) (ここは計算すると、不等号が成り立ちますが、省略します。）
またa_(n+1)<b_(n+1) (0<(a_n-b_n)^2から計算すれば出ますので省略します）
これをまとめてb_n<a_(n+1)<b_(n+1)<a_nとなる

3)
次にa_n<b_nのときは
上記と同じような計算で
b_(n+1)<b_n
a(n+1)>a_n
a_(n+1)<b_(n+1)がえられる。

2)3)の結果を合わせて
a_n>b_nの場合は、a_(n+1)<b_(n+1)に、
a_n<b_nの場合はa_n<a_(n+1)<b_(n+1)<b_n…(1)となる。
nが2以上で(1)が無限に繰り返されていき、a_2<a_3<a_4<a_5<...<b_5<b_4<b_3<b_2が成立するため{a_n}{b_n}はともに有界であり、n=2以上で
{a_n}は単調増加、{b_n}は単調減少であるとわかる。よってともに収束する。
数列{a_n}の収束値をA、数列{b_n}の収束値をBとして
与式に代入するとA=Bがえられ、数列{a_n}b_n}は同じ値に収束することがわかる。

といった感じ大まかにはあってますか？

回答No.1

noname#153489 · ベストアンサー

あってます。

あえていうと
「またa_(n+1)<b_(n+1) (0<(a_n-b_n)^2から計算すれば出ますので省略します）」
のところは≦にすればa_n、b_nの大小にかかわらず示せるから
「n≧2ではa_n≦b_n」
が成り立つことがわかる。
これから
「n≧2ではa_nは単調増加、b_nは単調減少」
を示す、という流れで行けば最初に場合分けする必要もなく証明が短くなると思います。

省略されてるところが肝心のような気もするんですが。

お礼

回答ありがとうございます。　なるほど。　そうしめせば、ずっとみじかくてすみましたね。