数列((logn)^100)/nと(2n)!/((1+n^n)^3)の収束,有界,単調

質問

識者の皆様宜しくお願い致します。

((logn)^100)/n
と
(2n)!/((1+n^n)^3)
という2つの数列のそれぞれの収束,有界,単調を調べよ。

という問題なのですがこれはどうすれば求まるのでしょうか?

回答No.3

joggingman · ベストアンサー

まず、最初の部分ですが、
b(n)=(2n)!/(1+n^n)^3
分母、分子をn^(2n）で割ると、(2n<n^n)　n=2,3,・・・)

分母＝(2)(2-1/n)(2-2/n)・・・{2-(n-1)/n}(2-n/n){2-(n+1)/n}・・・{2-(n+n-2)/n}{2-(n+n-1)/n}
これを、（ｎ個の積）×（ｎ個の積）とみて後ろを書き直すと、
＝(2)(2-1/n)・・・{2-(n-1)/n}・・・{(1)(1-1/n)・・・{1-(n-1)/n}
となるので、最初のｎ個は２以下で、後ろのｎ個は１以下なので、
＜(2^n)・(1^n)

分子＝(1+n^n)(1+n^n)(1+n^n)/{(n^n)(n^n)}
　　＝(1+1/n^n)(1+1/n^n)(1+n^n)＞n^n

b(n)＜(2^n)/(n^n)＝(2/n)^n　→０

後半は、ちょっと間違いがありました(^^;)
b(n+1)/b(n)の分母分子をn^(3n)(n^3)=n^(3n+3)で割ると
b(n+1)/b(n)=(2+2/n)(2+1/n)(1/n)(1+1/n^n)^3/{1+(1+1/n)^(n+1)}^3
となって、
直接の計算により、b(2)/b(1)<1,b(3)/b(2)<1
n=3,4,・・・のときは、
b(n+1)/b(n)<3・3(1/3)(10/9)^3/2^3<1
となるので、単調減少となります。

不等号の計算のところは、分母の値がなるべく最大となるように
分子の値がなるべく最小になるようにとってます。

お礼

大変有難うございます。

> まず、最初の部分ですが、
> b(n)=(2n)!/(1+n^n)^3
> 分母、分子をn^(2n）で割ると、(2n<n^n)　n=2,3,・・・)

先ず分母は
1/n^(2n)[1+3n^n+3n^(2n)+n^(3n)]=1/n^(2n)+3/(n^n)+3+n^n　…(*)となりますよね。

> 分母＝(2)(2-1/n)(2-2/n)・・・{2-(n-1)/n}(2-n/n){2-(n+1)/n}・・・
> {2-(n+n-2)/n}{2-(n+n-1)/n}

どうして(*)式からこのように変形できるのでしょうか?
(ここの部分が未だ分かりません)

> となるので、最初のｎ個は２以下で、後ろのｎ個は１以下なので、
> ＜(2^n)・(1^n)

(2)(2-1/n)(2-2/n)・・・{2-(n-1)/n}の夫々の因数が2以下になる。
そして、
(2-n/n){2-(n+1)/n}・・・{2-(n+n-2)/n}{2-(n+n-1)/n}の夫々の因数が1以下になる事は分かりました。

よって
≦(2^n)・(1^n)
となるのですね。

> 分子＝(1+n^n)(1+n^n)(1+n^n)/{(n^n)(n^n)}
> 　　＝(1+1/n^n)(1+1/n^n)(1+n^n)＞n^n

ん? 分子を1/n^(2n)で割るのですよね。すると先ずは
分子=(2n)!/n^(2n)=(2n)!/(n^n)(n^n)までは分かりますがこれが
どうして(1+n^n)(1+n^n)(1+n^n)/{(n^n)(n^n)}と変形できるのでしょうか?

> b(n)＜(2^n)/(n^n)＝(2/n)^n　→０

うーんと、ご説明では分母≦(2^n)・(1^n)、分子>n^nという結果が得られるのですよね。
これらからどうしてb(n)＜(2^n)/(n^n)が言えるのでしょうか?

> b(n+1)/b(n)の分母分子をn^(3n)(n^3)=n^(3n+3)で割ると
> b(n+1)/b(n)=(2+2/n)(2+1/n)(1/n)(1+1/n^n)^3/{1+(1+1/n)^(n+1)}^3
> となって、
(2+2/n)→2,(2+1/n)→2,(1/n)→0,(1+1/n^n)^3→1,
{1+(1+1/n)^(n+1)}^3={1+(1+1/n)(1+1/n)^n}^3→(1+e)^3
となるので全体としては0に近づく事が分かります。
即ち,b(n+1)/b(n)→0
従って、単調減少数列と言う事はわかりますが
どうしても
(2+2/n)(2+1/n)(1/n)(1+1/n^n)^3/{1+(1+1/n)^(n+1)}^3
に変形できません。
どうやってそのように変形できるのでしょうか?

お手数お掛けしましてすいません。

回答No.4

joggingman

Ｎｏ．２　分母の積→分子の積
Ｎｏ．３　分母→分子、分子→分母　の書き間違いでした。

b(n+1)/b(n)={(2n+2)!/(2n)!}(1+n^n)^3/{(1+(n+1)^(n+1)}^3

分子側をn^(3n+3)で割ると、
{(2n+2)!/(2n)!}/n^3=(2n+2)(2n+1)(1/n^3)=(2+2/n)(2+1/n)(1/n)
{(1+n^n)^3}/n^(3n)=(1+n^n)(1+n^n)(1+n^n)/n^(3n)=(1 +1/n^n)^3

分母側をn^(3n+3)で割ると
{1+(n+1)^(n+1)}^3/{n^(n+1)}^3={1/n^(n+1) +(1 +1/n)^(n+1)}^3

n≧3のとき（以下、より正確に評価しますと）
分子にくる項を評価すると、
(2+2/n)≦2+2/3=(8/3)
(2+1/n)≦2+1/3=(7/3)
(1 +1/n^n)^3≦(1 +1/9)^3=(10/9)^3
分母にくる項を評価すると、
(n)≧3
1/n^(n+1)＞0
(1 +1/n)^(n+1)=(1 +1/n)^n・(1+1/n)＞2
これは、c(n)=(1+1/n)^nが、ｎ→∞でeに収束するc(1)=2の単調増加
数列なので、c(3)>2から評価しています。
{(1/n^(n+1)+(1+1/n)^(n+1)}^3≧(0+2)^3=2^3
結局、
b(n+1)/b(n)=(8/3)(7/3)(10/9)^3/(3*2^3)=(56*10^3)/(9^4*24)<1
多分これであってんじゃないかと。。。

お礼

どうも有り難うございました。
お陰様で助かりました。

回答No.2

joggingman

分母の積を１つづつ書き下しますと、
(2n)/n=2
(2n-1)/n=(2-1/n)<2
(2n-2)/n=(2-2/n)<2
・・・
(2n-n+1)/n=(2-(n-1))/n<2
(2n-n)/n=1
(2n-n-1)/n=(1-1/n)<1　　　→　(2-(n-1)/n)と同じこと
・・・
(2n-n-n+2)/n=(1-(n-2)/n)<1　→ (2-(2n-2)/n)と同じこと
(2n-n-n+1)/n=(1-(n-1)/n)<1　→ (2-(2n-1)/n)と同じこと
なので、
最初のｎ個の積は＜2^n
　次のｎ個の積は＜1^n
としています。

Ｏ(1)は定数のオーダーという意味で書きました。

お礼

> 分母の積を１つづつ書き下しますと、
> (2n)/n=2
：
> Ｏ(1)は定数のオーダーという意味で書きました。

すいません。 なかなか仰ってる意味が把握できずにいます。

分母、分子をn^(2n）で割ると、

(2n)!/(1+n^n)^3=[(2n)!/(n^(2n)]/[1/n^(2n)+3(n^n)/n^(2n)+3(n^(2n))/n^(2n)+n^(3n)/n^(2n)]
=[(2n)!/(n^(2n))]/[1/n^n+3/n^n+3+n^n]

ですよね?

"最初のｎ個の積"や"次のｎ個の積"とは何処の事を言っておられるのでしょうか?
「[(2n)!/(n^(2n))]/[1/n^n+3/n^n+3+n^n]」の続きをお教えいただければ幸いでございます。

あと、b(n+1)/b(n)をn^n*n^3で割ると

b(n+1)/b(n)=[(2(n+1))!/(1+(n+1)^(n+1))^3][(1+n^n)^3/(2n)!]
=(2n+2)(2n+1)[(1+n)/(1+(n+1)^(n+1))]^3

ですよね?
これからどうして
「<2^n・1^n/(n^n)」が言えるのでしょうか??

…の部分を何度も読み返しているのですが、、、どうしても分かりません。
お手数お掛けしまして申し訳有りません。

回答No.1

joggingman

a(n)={(logn)^100}/n　は、
f(x)={(logx)^100}/x　として、

lim[x→∞] f(x)/g(x)=lim[x→∞] f'(x)/g'(x)
但し、lim f(x)→∞、limg(x)→∞
を使うと、
limf(x)=lim[x→∞] 100{(logx)^99}/x
これを繰り返すと、結局
lim[x→∞] 100!(1/x)=0　となるので、a(n)→0　（ｎ→∞）
f'(x)={(logx)^99}/x^3 *(100-xlogx)
だから、n=29,30あたりで増加から減少に転じます。

b(n)=(2n)!/(1+n^n)^3
分母、分子をn^(2n）で割ると、(2n<n^n)　n=2,3,・・・)
(2)(2-1/n)・・・{2-(n-1)/n}・・・{(1)(1-1/n)・・・{1-(n-1)/n}/(1+1/n^n)^2*(1+n^n)
<2^n・1^n/(n^n)=(2/n)^n→0

b(n+1)/b(n)をn^n*n^3で割ると、(1/n)*O(1)の式になるので、
単調減少ということになります。

お礼

> a(n)={(logn)^100}/n　は、
> f(x)={(logx)^100}/x　として、
：
> だから、n=29,30あたりで増加から減少に転じます。

有難うございます。((logn)^100)/nについては納得できました。

> b(n)=(2n)!/(1+n^n)^3
> 分母、分子をn^(2n）で割ると、(2n<n^n)　n=2,3,・・・)
> (2)(2-1/n)・・・{2-(n-1)/n}・・・{(1)(1-1/n)・・・
> {1-(n-1)/n}/(1+1/n^n)^2*(1+n^n)

うーんと、一番目の…部分は
2(2-1/n)・(2-2/n)・(2-3/n)・・・(2-(n-1)/n)
という意味ですよね?

> ・・・{(1)(1-1/n)・・・{1-(n-1)/n}/(1+1/n^n)^2*(1+n^n)
二番目,三番目の…部分はどういう意味なのでしょうか?
もう少し書き足していただければ助かります。

> <2^n・1^n/(n^n)=(2/n)^n→0
> b(n+1)/b(n)をn^n*n^3で割ると、(1/n)*O(1)の式になるので、
> 単調減少ということになります。

O(1)は定数という意味ですね?