収束 と 有界 について

質問

Gelfand-Mazurの定理の証明での途中で

A:バナッハ体
x∈A
λ:複素数

x(λ)=(x-λ)^(-1)　＜リゾルベント＞
(複素平面で定義されていてB環の元を価とする関数)

∥x(λ)∥=∥(x-λ)^(-1)∥=1/|λ|・∥(x/λ-1)^(-1)∥
λ→∞
→０・１＝０

とあったのですが、1/|λ|が０に収束するのはわかるのですが、
∥(x/λ-1)^(-1)∥が１に収束すると言う証明の仕方がわかりません。
考えればあたりまえなのですが、それをちゃんと式で証明すると言うのができずにもやもやしています。

また、上式からx(λ)が有界であるという結果を導けますが、
なぜ有界といえるのでしょうか。

収束する数列は有界というのがありますが、それは実数での話なので複素数となった時はどういう考え方をすればよいのかわかりません。

詳しく教えていただけると嬉しいですが、
こうやってみては？というアドバイスだけでも、何をどうしてよいのかわからない状態なので嬉しいです。

宜しくお願い致します。

回答No.1

adinat

やや失礼な言い方をさせてもらいますが、関数解析をされている割には、微積分の基本事項がやや曖昧という、奇異な印象を感じずにはいられません。微積分の基本事項を復習されてはいかがですか。

前半部分ですが、ノルムの連続性（極限とノルムの交換可能性）より∥(x/λ-1)^(-1)∥の中身は(-1)^(-1)に収束します。(-1)^(-1)は1ですから、したがって∥(x/λ-1)^(-1)∥は1に収束します。

収束列が有界であることは、複素数でも同じです。なぜなら複素数列が有界であることの定義は、その絶対値を実数列とみたときの有界列になることだからです。したがって自明なのです。

お礼

自分でもそう思い、復習中です。ご指摘ありがとうございます。

また、前半部分ですが、もちろん(-1)^(-1)に収束することはわかっています。それをちゃんとノルムの式などでどう証明するのかという所が疑問点です。
例えば∥(x/λ-1)^(-1)-1∥＜εを示す、など・・・・
書き方が曖昧で申し訳ありません。

有界の件についてはわかりました。
ありがとうございます！！