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有界でないの問題です!

こんにちは。前に投稿しましたが、自分なりに考えた解答をみてください。間違いなどありますか??お願いします。 「数列(An)が有界でない⇔すべてのk(自然数)について|Ank|>=k である部分数列{Ank}が存在する」を示す問題です。 <考え方と解答> ・A=数列{An}が有界でない ・B=すべてのk(自然数)について、|Ank|>=kである部分数列{An}が存在する "A→B" 定義より、数列(An)が有界でない ⇔  すべてのM(実数)に対して、適当なn(自然数)が存在して   M<|An| を満たすから  すべてのk(自然数)に対して、適当なn(自然数)が存在して   k<|An| を満たす。 つまり、  すべてのk(自然数)に対して、k<|Ank|である  部分数列{Ank}が存在する よって、  すべてのk(自然数)に対して、k=<|Ank|である 部分数列{An}が存在する Q.E.D.   "A→B" すべてのk(自然数)に対して、|Ank|>=kである部分数列{An}が存在する つまり、 すべてのM(実数)に対して、M<kとなる自然数kをとると、 数列{An}の部分数列{Ank}について、   |Ank|>=k>M  となるので、数列{An}について、   |An|>M  となる。よって、数列{An}が有界でない。                  Q.E.D. 以上より、必要十分が示せた。   

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  • kabaokaba
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回答No.2

> k<|An| となるnが複数個あるとは限らないのでn(k)がすべて同じになることもあります。 なりません.{An}が有界ではないので かならず複数個とれます. 証明: ある自然数kが存在し,k<|Aa| となる自然数 a が唯一つだけ存在すると仮定する. これは,数列 { |An| } が |Aa| を「最大値」とすることを意味する. #|Aa| < |An| を満たす An (nはaではない)が存在すれば #k < |An| を満たすことに注意. これは 数列 {An} が有界であることに反する. > ex. A=(1,1,∞,1,1,1,1、,1,1,1,1、...) これは数列ですらありません.普通の意味では (実)数列は「自然数から実数への写像」であり, 実数には「∞」は含みません. k<|An| となる n をとることで「部分列」を構成することは可能です. 質問者さんの補足で問題ないです. あえて厳密にしめすのであれば ・数列{An}から有限個の項を取り除くことによっては 数列{An}の有界・非有界は変わらない ということを別に示せばよいでしょう. そうすれば k<|An|を満たすnをnkとする {An}のnk項までを取り除いた数列は非有界なので k+1<|An|を満たすnが存在する.これを nk+1とする というようにすれば部分列をとれます. #前に同じ問題にアドバイスしたときは #ここらあたりは自明として飛ばしたのですが。。。

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  • einart
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回答No.1

>すべてのk(自然数)に対して、k<|Ank|である k<|An| となるnが複数個あるとは限らないのでn(k)がすべて同じになることもあります。 このとき  An(k) は部分列では無くなってしまいます。    ex. A=(1,1,∞,1,1,1,1、,1,1,1,1、...)   とすると任意のkに対してk<|An|となるn=3のみですね。   これでLovechild0さんの方法で部分列を作ると    (A3、A3、A3、A3....)   となります。これは部分列ではないですね。 (→)のヒント! An自身はAnの部分列となります。 そのほかは大丈夫だと思いますよ。ナイーブな教授だと分かりませんが。

Lovechild0
質問者

補足

有難うございます! では、 「すべてのk(自然数)に対して、適当なn(自然数)が存在して   k<|An| を満たす。 つまり、  すべてのk(自然数)に対して、k<|Ank|である  部分数列{Ank}が存在する」 を、 「すべてのk(自然数)に対して、適当なn(自然数)が存在して   k<|An| を満たす。 つまり、  1<|An| となるAn1は存在し、1<|An1|   このAn1以降の項で、  2<|An2| となるAn2は存在し、2<|An2|   このAn2以降の項で、  3<|An3| となるAn3は存在し、 3<|An3|  これを繰り返すことにより  すべてのk(自然数)に対して、k<|Ank|である  部分数列{Ank}が存在する」 とすればよろしいでしょうか??

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