有界でないの問題です！

質問

こんにちは。前に投稿しましたが、自分なりに考えた解答をみてください。間違いなどありますか？？お願いします。
「数列(An)が有界でない⇔すべてのk（自然数）について|Ａnk|>=k
である部分数列｛Ａnk｝が存在する」を示す問題です。
＜考え方と解答＞
・Ａ＝数列{An}が有界でない
・Ｂ＝すべてのk（自然数）について、|Ａnk|>=kである部分数列{An}が存在する

"A→B"
定義より、数列(An)が有界でない
⇔
　すべてのＭ（実数）に対して、適当なｎ（自然数）が存在して
　　Ｍ<|Ａn|　を満たすから
　すべてのｋ（自然数）に対して、適当なｎ（自然数）が存在して
　　ｋ<|Ａn|　を満たす。
つまり、
　すべてのk（自然数）に対して、ｋ＜|Ａnk|である
　部分数列{Ank}が存在する
よって、
　すべてのk（自然数）に対して、ｋ=<|Ａnk|である
部分数列{An}が存在する
Ｑ．Ｅ．Ｄ．

"A→B"
すべてのk（自然数）に対して、|Ａnk|>=kである部分数列{An}が存在する
つまり、
すべてのＭ（実数）に対して、M<kとなる自然数kをとると、
数列{An}の部分数列{Ank}について、
　　|Ａnk|>=k>M　
となるので、数列{An}について、
　　|Ａn|>M　
となる。よって、数列{An}が有界でない。
　　　　　　　　　　　　　　　　 Ｑ．Ｅ．Ｄ．

以上より、必要十分が示せた。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

> ｋ＜|An|　となるｎが複数個あるとは限らないのでｎ(k)がすべて同じになることもあります。

なりません．{An}が有界ではないので
かならず複数個とれます．
証明：
ある自然数kが存在し，k<|Aa|
となる自然数 a が唯一つだけ存在すると仮定する．
これは，数列 { |An| } が |Aa| を「最大値」とすることを意味する．
＃|Aa| < |An| を満たす An (nはaではない）が存在すれば
＃k < |An| を満たすことに注意．
これは 数列 {An} が有界であることに反する．

>　ex.　A＝（１,１，∞,1,1,1,1、,1,1,1,1、...）

これは数列ですらありません．普通の意味では
（実）数列は「自然数から実数への写像」であり，
実数には「∞」は含みません．

k<|An| となる n をとることで「部分列」を構成することは可能です．
質問者さんの補足で問題ないです．
あえて厳密にしめすのであれば

・数列{An}から有限個の項を取り除くことによっては
数列{An}の有界・非有界は変わらない

ということを別に示せばよいでしょう．
そうすれば
k<|An|を満たすnをnkとする
{An}のnk項までを取り除いた数列は非有界なので
k+1<|An|を満たすnが存在する．これを nk+1とする
というようにすれば部分列をとれます．

＃前に同じ問題にアドバイスしたときは
＃ここらあたりは自明として飛ばしたのですが。。。

回答No.1

einart

＞すべてのk（自然数）に対して、ｋ＜|Ａnk|である

ｋ＜|An|　となるｎが複数個あるとは限らないのでｎ(k)がすべて同じになることもあります。
このとき
　An(k)
は部分列では無くなってしまいます。

　ex.　A＝（１,１，∞,1,1,1,1、,1,1,1,1、...）
　　とすると任意のｋに対してｋ＜|An|となるｎ＝3のみですね。
　　これでLovechild0さんの方法で部分列を作ると
　　　（A3、A3、A3、A3....）
　　となります。これは部分列ではないですね。

（→）のヒント！　An自身はAnの部分列となります。

そのほかは大丈夫だと思いますよ。ナイーブな教授だと分かりませんが。

補足

有難うございます！
では、
「すべてのｋ（自然数）に対して、適当なｎ（自然数）が存在して
　　ｋ<|Ａn|　を満たす。
つまり、
　すべてのk（自然数）に対して、ｋ＜|Ａnk|である
　部分数列{Ank}が存在する」
を、
「すべてのｋ（自然数）に対して、適当なｎ（自然数）が存在して
　　ｋ<|Ａn|　を満たす。
つまり、
　１＜|Ａn|　となるＡｎ1は存在し、１＜|Ａn1|　
　このＡｎ1以降の項で、
　２＜|Ａn2|　となるＡｎ2は存在し、２＜|Ａn2|　
　このＡｎ2以降の項で、
　３＜|Ａn3|　となるＡｎ3は存在し、　３＜|Ａn3|　
これを繰り返すことにより
　すべてのk（自然数）に対して、ｋ＜|Ａnk|である
　部分数列{Ank}が存在する」
とすればよろしいでしょうか？？