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∫[x=0~∞]logx/(1+x^2)の広義積分が収束することを確かめよ という問題がわかりません。 判定法定理とロピタルの定理よりx^1.5logx/(1+x^2)がx=∞で有界であることを示せました。 ですが、x=0のときどうやってもx^λlogx/(1+x^2) (λ<1)が有界であることを示せません。 僕の予想ではλ=0.5となると思うんですがロピタルを使っても有界になりません。 なおこの広義積分は必ず収束します。 誰か教えてください。 おねがいします。
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f(x)=(logx)/(1+x^2) y=logx x=e^y dy/dx=1/x=1/e^y g(y)=y/(e^{-y}+e^y) ∫f(x)dx=∫g(y)dy a_n=∫[1~n]f(x)dx ∀ε>0に対して、 ∃n0>e^{4/ε} m>n>n0 n<x<m S=logn<y<R=logm |a_m-a_n| =|∫[n~m]f(x)dx| =|∫[S~R]g(y)dy|≦|∫[S~R](y/e^y)dy|=|(1+S)/e^S-(1+R)/e^R|≦4/S<ε ↓ ∫[1~∞]f(x)dxは収束する ↓ ∀ε>0に対して、 ∃K>0(L>K→|∫[1~L]f(x)dx-∫[1~∞]f(x)dx|<ε) 0<δ<1/K y=1/x x=1/y dy/dx=-1/x^2=-y^2 0<δ<x<1 1<y<1/δ ↓ ∫[δ~1]f(x)dx=-∫[1~1/δ]f(y)dy ↓ |∫[δ~1]f(x)dx+∫[1~∞]f(x)dx| =|-∫[1~1/δ]f(y)dy+∫[1~∞]f(x)dx|<ε ↓ lim_{c→+0}∫[c~1]f(x)dx=-∫[1~∞]f(x)dx ↓ ∫[+0~∞]f(x)dx=0
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