数列の収束についての質問です。

質問

「数列(An)が単調減少数列で下に有界のとき、lim(n→∞)An=inf(An)」となることは証明できますか？？なんでこうなるのかという疑問があって質問させてもらいました（泣）

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

inf を使ってるんだから，高校生ではないでしょう．
季節的に，大学の新入生がεδに面食らう時期です．
実際，εδの話が増えてますから．

容易に証明できるというか。。。まさに inf の定義そのものです．
実数の部分集合Xに対して，a=inf(X)であるとは
任意の正の数εにたいして，
Xの元 e が存在して，a <= e < a+ε となることをいう．
こんな感じですよね．

さて，単調減少列{An}に対して，A=inf({An})とおく
Aはinfなので，
任意の正の数εに対して，
ある正の自然数 N が存在して，a <= AN < a+ε
{An}は単調減少，Aはinfなので
n>=N に対して，a <= An < AN <a+ε
すなわち，a-ε < a <= An < AN <a+ε
つまり，整理すれば，
任意の正の数εに対して，
ある正の自然数 N が存在して
n >=N ならば，|An - inf({An})| < ε
証明終

回答No.2

ojisan7

これは、「Weierstrassの定理」ともいいます。この定理を証明するには実数の公理について知る必要があります。しかし、高校ではそこまで習いませんので、この定理は、公理として覚えておきましょう。証明を知りたければ、「Weierstrassの定理」で検索しましょう。がんばってくださいね。

回答No.1

koko_u_

>lim(n→∞)An=inf(An)」となることは証明できますか？
容易に証明可能です。