数列の収束条件

質問

（似たような質問を昨日させてもらいましたが、違う質問です）

数列{a_n}がある有限値に収束するとして、a_(n+1)-a_n=d_nとしたとき、数列{d_n}は0に収束しますが、数列{d_n}が0に収束すれば、{a_n}はある有限値に収束すると結論付けてもいいのでしょうか？

回答No.8

alice_44 · ベストアンサー

個人的には、日本の古典文学「解析概論」高木貞二。
しかし、手にとって確かめないと、私の意見なんて
アマゾンのレビュー以上に…

お礼

回答ありがとうございました。わかりました。図書館で実際に見てほかのと比べてから購入を検討したいと思います。

回答No.7

alice_44

基礎論は、酸いも甘いもかみ分けた人が、
苦味も知りたくなって学ぶモノかと。
初学者は、解析学からでしょ。

＞ 早速アマゾンで

図書館で内容を確かめてからでないと、
後悔する可能性大。
アマゾンのレビューなんて、Wikipedia以上に…
(以下自粛)

お礼

回答ありがとうございます。なるほど。解析学ですか。お勧めの解析学の教科書ありますか？初学者はとりあえず黙ってこれやっとけといったものです。

回答No.6

Tacosan

厳密にやるなら基礎論かな.

お礼

回答ありがとうございます。早速アマゾンで注文してみます。

回答No.5

kabaokaba

>なるほど　よくわかりました。　

あとの文章を見る限り
たぶん「分かったつもり」になってるだけだと思う．

前も書いたけど「完備性」，つまりは「実数の連続性」というのを
勉強しましょう．

Wikipediaは所詮Wikipediaです．
すくなくとも数学に限っていえば
分かってる人が確認のために見るものであって
初学者が勉強のために，すくなくとも教科書の代わりにみるものではありません．

>（実数のみの場合）有理数の数列ではなく基本的に実数の数列と考えたらコーシー列は常に収束するのでしょうか？

有理数全体の集合は完備ではなく，
実数全体の集合は完備であるということです．
有理数のみで構成された数列がコーシー列であれば
それは有理数に収束するとは限らず，
有理数の外に収束することもあるということです．

お礼

回答ありがとうございました。
とりあえずは教科書を買ってきて読んでから再度質問させていただくことにします。

補足

そのような実数の性質といったようなものはどのような教科書に書いてあるのでしょうか？数列に関する教科書でしょうか？それとも数論といった教科書でしょうか？数論というと整数とかに限定されてしまうような気もしますが、、、解析学とかでしょうか？

回答No.4

kabaokaba

うん，すでに指摘があるように
a_n=1+(1/2)+(1/3)+・・・+(1/n)は
明らかにコーシー列ではない
＃ちなみに，∞ってのは実数ところか普通の意味では数ですらない
♯一種の状態だと思うほうがよい

n>mとして
D=a_n - a_m = (1/(m+1))+・・・+(1/n)
がn,m->∞で0に収束するか？
しません
D>log(n/(1+m))だから
nをmよりもはやく発散するようにとればいい．
n=3mでもn=2mでもいいのです．

お礼

回答ありがとうございます　
なるほど　よくわかりました。　コーシー列で収束しないというのはWikipediaの例にあるように、有理数では収束しないといった類で、（収束値が何でもいいならば）収束はするということなのでしょうか？つまり（実数のみの場合）有理数の数列ではなく基本的に実数の数列と考えたらコーシー列は常に収束するのでしょうか？

回答No.3

Tacosan

「kabaokabaさんがあげてくださった数列はコーシー列ですが」の部分が間違ってるので, そのあとの議論は無意味.

お礼

なるほど。たとえば、n=3mとかとおくと、{a_n}は発散するので、lim{n,m→∞}|a_n-a_m|が０にならないってことですか？

回答No.2

kabaokaba

だめ
簡単に示せる

a_n= 1+(1/2)+(1/3)+・・・+(1/n) は収束しない（無限大に発散）

a_{n+1}-a_n= 1/(n+1) は0に収束する

===============

実数の完備性とかコーシー列ってのを理解すると
シアワセに慣れるかもしれない

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど。確かにその数列は、差が0に収束しますが、数列自体は発散しますね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97

コーシー列についてうぃきでしらべてわからない点があるんですけれども
最初の方に
「しかし、実数の重要な性質の一つとして、実数全体の集合 R におけるどのようなコーシー列も必ず R 内に極限値を持つことが挙げられる。実数からなるどんなコーシー数列も収束列であるという事実は、歴史的な事情で「実数の連続性」と呼ばれる[4]。 」という部分があるのですが、たとえば
kabaokabaさんがあげてくださった数列はコーシー列ですが、どうみても収束しないですよね？これは実数全体の集合Rにおける数列ではないということなのでしょうか？（ちなみに∞って実数なのでしょうか？）

回答No.1

Tacosan

「差分が 0 に収束するならもとの数列は収束するか」という意味なら NO.

お礼

回答ありがとうございました