数列とその部分数列の収束の証明

質問

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数列｛ａn｝がａに収束するとき、その部分数列｛ａn(j)｝がすべてａに収束することを示せ。
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様々な書籍を参考にしてみたのですが、
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任意の部分列 {ａn(j)}が、その n0 より大きな添え字の項以降（nk＞n0 となる k が存在して、k＜j）で|anj-ａ|＜ε
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上を示そうにも手こずり困っています。
部分列 {n(j)}が、自然数の単調増加列であることは解るのですが…。
大まかな道筋をお願いします

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

今どこまでできていてどこで困っているのかを書いてくれればもうちょっと説明のしようもありますが, どこで詰まっているのかわからないので一般的に:
「数列 {an} が a に収束する」ということの定義をちゃんと書けますか?
定義が書けて {n(j)} が (j に関し) 単調増加であることが分かっているのなら,
「任意の部分列 {ａn(j)}が、その n0 より大きな添え字の項以降（nk＞n0 となる k が存在して、k＜j）で|anj-ａ|＜ε」
は容易に示せるはずです.

補足

「数列 {an} が a に収束する」ということの定義は書けます。
しかし、
「任意の部分列 {ａn(j)}が、その n0 より大きな添え字の項以降（nk＞n0 となる k が存在して、k＜j）で|anj-ａ|＜ε」
を示せません。

回答No.2

Tacosan

{n(j)} は自然数の単調増加列なんだから
n(j) ≧ j
は自明でしょ? 分からんというなら帰納法で示してやってください.
つまり
j > n0 なら n(j) > n0 なので |anj - a| < ε
とできます.