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連続固有値の疑問 （集合の濃度の点で）
ヒルベルト空間が稠密ということは、状態ベクトルの全体がなす集合の濃度が 加算無限（X0） と思います。 それなら、固有空間⊆ヒルベルト空間ですから、固有ベクトルの集合の濃度も、高々 X0 したがって、連続固有値のなす集合も、高々 X0 ということは、連続固有値の集合の濃度は、連続（X1） じゃないことになります。 これって、連続固有値の定義と矛盾しませんか？ 関連質問： http://okwave.jp/qa/q7856953.html
- morimot703
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その本が手元にないので「中間値で代表させる方法」がどういう方法であるか分かりませんが、 いずれにせよ異なる連続固有値に対応する"固有ベクトル"が必ずしも直交しないようになっているのだと思います。そうすると「固有ベクトルの集合」が、一次独立(?)であるという事が言えなくなりませんか？
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- eatern27
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連続固有値の定義をきちんと覚えていませんが、 連続固有値に対応する"固有ベクトル"は、ヒルベルト空間の元ではないですよね？
補足
はい、もちろん、そうです。 状態が連続固有値をとっている場合、そのままでは、ヒルベルト空間に入らないのは知っています。 この疑問は、清水明「新版 量子論の基礎」ｐ72にある「中間値で代表させる方法」で、 無理やりヒルベルト空間（可算無限）に入れた場合の疑問です。 前提を抜かしていて、すみません。
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お礼
すいません。 そもそも、ヒルベルト空間の濃度がＸ0 というのが、僕の思い込みでした。 （可分と可算無限をゴッチャにしていました） お手間をとらせてすみません。 もっと、勉強します。