対角化の問題で（固有値、固有ベクトル）

質問

固有空間がこんな感じになった場合、固有ベクトルはどうなるんでしょうか？
┌1　0 -1┐┌x1┐　 ┌0┐
│-1 0　1││x2│＝│0│・・・☆
└0 　0　0┘└x3┘　└0┘
この固有空間の次元2と固有値の重複度2は一致しているんで対角化は可能なんですが、
☆から固有ベクトルって2つ求まるんですか？
☆からわかるのってx1=x3だけで、x2に関する関係が何も出てこないんで困ってます・・・ どなたかご教授お願いします。

回答No.2

kokkoro

[X1,X2,X3]が固有ベクトルになるっていう話ですよね？
☆からはX1=X3がわかります、そしてこの場合X2はなんでもいいということになりますよね。
つまり
┌X1┐　┌1┐ ┌0┐
│X2│＝│0│X3 + │1│X2
└X3┘　└1┘ └0┘
というふうに現されます。
つまりこの[X1,X2,X3]は[1,0,1]と[0,1,0]の1次結合で表現されます。上の式でX3をS,X2をTとでもおき直せば
┌X1┐　┌1┐ ┌0┐
│X2│＝│0│S + │1│T
└X3┘　└1┘ └0┘
となるわけです。
よってその固有値による固有空間は[1,0,1]と[0,1,0]で生成され、固有ベクトルは[1,0,1]と[0,1,0]の2つです。
曖昧な表現が多くてすみません。

回答No.1

KENZOU

この手の問題は普通永年方程式に焼きなおして固有値、固有ベクトルを求めると思いますが。