固有ベクトル求め方

質問

3×3行列
A=
[ 7 2 2 ]
[-6 -1 -6 ]
[ 2 2 7 ]
を対角化できるかどうか判定しなさい。
対角化できれば、対角化する行列P
を1つ求めて、実際にP^(-1)AP を計算して対角化して下さい。

という問題の解法について、いまいちわからないことがあるので、質問します。
解法
まず固有値を求めます。
固有多項式は、Ψ(λ)=(λ-3)(λ-5)^2
で、λ=3、λ=5(重根)となります。
重根の場合、対角化できるか調べるために、
B=A-5Eとして、Bの階数(rank) を調べます。
B=
[2 2 2]
[-6 -6 -6]
[2 2 2]
となり、rank=1 よって、重根でも対角化できる、と結論づけて大丈夫なのででょうか？
別な判定方法として、最小多項式を求めて、これが重根ではなかったら「対角化できる」という判定方法があると思います。実際にこの問題の場合は、
(A-3E)(A-5E)=0となり、
最小多項式ψ(λ)=(λ-3)(λ-5)で重根を持ちません。
この判定方法は、前者の方法と「同値」なのでしょうか。同値であれば、その数学的理由を教えて下さい。
次に実際に固有ベクトルを求める過程での質問です。
λ=3についての固有ベクトルpは、
(A-3E)p=0 より
[1]
[-3]
[1]
と容易に求めることができます。
重根のλ=5に対する固有ベクトルの求め方について。
(A-5E)p=0
pの固有ベクトルの成分をxyzとします。
x+y+z=0となります。つまりrank=1となります。この式を満たす一次独立なベクトルを2つ見つけます。
x＋y＋z=0を満たす適当な数字を考えて
x,y,z)=(1,1,-2)と(1,0,-1)
としました。よってP=
[1 1 1]
[-3 1 0]
[1 -2 -1]
としました。そしたら、対角化できました。
しかし、一般的な解法(演習問題の解法)は、
x＋y+z=0 より、x=-y-zなので、
s、tを媒介変数として、
x=-s-t
y=s
z=t
より、
(x,y,z)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1)と書けるので、
このλ=5に対する独立した固有ベクトルは、(-1,1,0)と(-1,0,1) である。
以上より、対角化する行列P=
[1 -1 -1]
[-3 1 0]
[1 0 1 ]

P^(-1)AP=
[3 0 0]
[0 5 0]
[0 0 5]
と対角化する、という方法をとります。わざわざ媒介変数stを使ってやるのは何故でしょうか。また、2つの固有ベクトルを直交するようにとってみました。
P=
[1 1 1]
[-3 -1 1]
[1 0 -2]
として計算したも対角化できました。結局、x＋y＋z＝０を満たす独立なベクトルだったら、本当に何でもいいということですか?

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/excel/newton/integral1.html

前半：

rank(A-5E) = 1 は、dim Span (A-5E) = 1 ということなので、
次元定理から dim Ker (A-5E) = 3-1 です。
固有値 5 に対する固有空間の次元が、固有値 5 の重複度と一致するので、
A は対角化可能と判るのです。
固有空間の次元は、A のジョルダン標準型における
その固有値のジョルダン胞の個数を表します。

最小多項式における固有値の重複度は、A のジョルダン標準型における
その固有値のジョルダン胞の最大次数を表すので、それが 1 ならば
A は対角化可能です。

どちらの判定法も正しいですが、後者の場合、どうやって最小多項式を求めて
判定ヘ持ち込むつもりですか？

後半：

どちらの方法でも P は求まります。
貴方の方法は、「適当な数字」をパッと思いつけば、たいへん速いことが利点。
思いつかなければ答えが出ないことが欠点です。
問題集の方法は、一次方程式を解けば自動的に固有ベクトルが出ることが利点。
ちょっと面倒くさいことが欠点です。
好きなほうを選べばよく、どちらが一般的ということもありません。

媒介変数を使うのは、部分線型空間を媒介変数表示すると、媒介変数の係数が
部分空間の基底になるからです。固有空間の基底を求めたい訳ですからね。

＞ 結局、x＋y＋z＝０を満たす独立なベクトルだったら、本当に何でもいいということですか?

そうです。何か気になることが？

回答No.3

alice_44

連絡：
A No.2 の一行目は、テキストの編集ミスで混入したものです。
気にしないでください。

回答No.1

Tacosan

後半は (対角化の意味を考えれば) 「本当に何でもいい」で終わりなので前半... の前に確認.

「rank=1 よって、重根でも対角化できる」というのは, この場合には確かに正しいんだけど, 途中に飛躍がある (つまり, 厳しく言えば「よって、『なんとかかんとかだから』重根でも対角化できる」とすべきである) ことは理解していますか?