行列の固有値問題について

質問

行列A={2,a,b 0,1,c 0,0,1}が対角化可能であるためのa,b,cに関する条件についてお尋ねします。
この行列の固有方程式の二重解である固有値1に対する固有空間の次元が2である場合に対角化可能であるということは理解できました。
しかし、これを満たすには行列E-Aのランクが3-2=1であれば良いらしいのですが、なぜこのような考え方になるのかがあまり理解できません。
この点についてのご教授をどうかよろしくお願い致します。

回答No.1

kesexyoki

行列Aの固有値のうち重解を持つ方が１になるはずです。
てことは固有ベクトルvを求めるとき、（E－A）v＝０となります。

これを計算すると、v＝t（x y z）とでもおけば
x＋ay＋bz＝０かつcz＝０となるはずです。
ここでcz＝０を見てみます。
ｚ＝０とすると、固有ベクトルはt(-a 1 0)だけになります。
よって対角化可能となるにはｃ＝０となりますね。
このときrank(E-A)=1
となるはずです。