行列の固有値・固有ベクトルの問題です

質問

こんにちは。
固有値、固有ベクトル（空間）の問題で分からない所があるので、教えていただきたいです。

問題は
次の線形変換T：R[x]2 → R[x]2　に対して固有値と各固有値についての固有空間を求めろ。
（1）T（f(x)） = f(1-x)
（2）T（f(x)） = f(2x) +f ’(x)

（1）について
R[x]2の標準基｛1,x,x^2｝は線形変換Tでそれぞれ
T(1) = 1
T(x) = 1-x
T(x^2) = 1-2x-x^2
となるため、表現行列Aは
A=[1 1 1； 0 -1 -2； 0 0 -1]　（；ごとに行を区切って書いています）
これの固有多項式を解くと、λ=-1,1
λ=-1の場合は固有空間を求めることが出来たのですが、
λ=1のとき、[E-A]の行列を簡約化すると
[0 1 0； 0 0 1； 0 0 0] となり、ここからどうすればいいのかが分かりません。
（答えはc1+c2(-x+x^2)となります。）

また、（2）の方も同様に行うと、
表現行列Aは　A=[1 1 0； 0 2 2； 0 0 4]
となり、固有値がλ=1,2,4となります。
λ=2,4の場合は自力で出来たのですが、λ=1のときに、（1）でつまずいた行列と全く同じ形になり、こちらもどうすればいいのか分かりません。　
（答えはcとなります。）

長くなってしまい申し訳ないです。
どうぞ、よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「どうすれば」も「こうすれば」もなくただ
固有空間を素直に求める
だけです.

お礼

回答ありがとうございます。
（1）の方は計算間違いで行列Aの最後（3,3）が1でした。これでやるとちゃんと解けました。
（2）の方ですが、単純にx1=cと置くだけで良いみたいですね・・・。
ありがとうございました。