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行列・対角化可能の条件は？
行列で対角化可能の時の条件を教えて下さい。 問題で固有値、固有ベクトル、対角化可能の場合は対角化する正則行列を求めよ、とあります。 ３×３行列で固有値が３つ、全て異なる場合は対角化可能。 固有値が１つ（３重解）の場合は対角化不可。 では、固有値が２つの場合は対角化可能と不可の場合がありますが、これはどのようにして見分けるのでしょうか？ 例えば －３ －２ －２ B＝[ ２ １ ２ ] ２ ２ １ の時、固有値は１、－１（重解）ですが対角化可能です。なぜでしょうか？宜しくお願いします。
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きりがないので前後の文脈から書き間違いを訂正してください。 ３×３行列が正則行列で対角化可能であるための必要十分条件は「３つの独立な固有ベクトルを持つこと」です。 相異なる３つの固有値を持てば３つの独立な「固有ベクトル」を持つので対角化可能です。 ２つの相異なる固有値しか持たない場合の例： ０００ ０１０ ００１ は対角化可能であり ０００ ０１１ ００１ は対角化不可能である。 １つの固有値しか持たない場合： １００ ０１０ ００１ は対角化可能であり １１０ ０１０ ００１ は対角化不可能である。 従って 固有値が１つ（３重解）の場合は対角化不可。 はうそです。
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- keyguy
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３×３行列が正則行列で対角化可能であるための必要十分条件は「３つの独立な固有ベクトルを持つこと」です。 相異なる３つの固有値を持てば３つの独立な固有値を持つので対角化可能です。 ２つの相異なる固有値しか持たない場合の例： ０００ ０１０ ００１ は対角化可能であり ０００ ０１１ ００１ は対角化不可能である。 １つの固有値しか持たない場合： １００ ０１０ ００１ は対角化可能であり １１０ ０１０ ００１ は対角化不可能である。 従って 固有値が１つ（３重解）の場合は対角化不可。 はうそです。
お礼
回答ありがとうございます。 独立な固有値の数を調べてみたら、うまくいきました。 遅くなりましたが有難うございました。