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対角化不可能な４次正方行列
行列A= (-1,0,0,1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (4,0,0,-1) について。 Aの固有値を求め、それぞれの固有値に対するAの固有空間の基底を一組求めよ。また、適当な正則行列Pを求めてp^(-1)APが対角行列になるようにせよ。 という問題がわかりません。 自分で計算したところ、λ=-3,1(3重解)と出ました。 λ=-3のとき、基底のひとつはt^(1,0,0,-2)と出ました。 問題はλ=1のときです。(1*E-A)を変形したときのランクは1で、未知数4だから4-1=3>0で対角化不可能です。 このときの固有ベクトルをt^(x,y,z,w)とするならば、z=2xという関係式から t^(1,0,0,2) t^(0,1,0,0) t^(0,0,1,0) を基底に選んだのですが、これは間違っているでしょうか？ あと、この後どうやったらいいのかわかりません。 いま出した4つのベクトルを正規化して横に並べても、これはPにはならないですよね。 教えてください。
- milkyway60
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>t^(1,0,0,2) >t^(0,1,0,0) >t^(0,0,1,0) >を基底に選んだのですが、これは間違っているでしょうか？ 間違っていませんよ。 >いま出した4つのベクトルを正規化して横に並べても、これはPにはならないですよね。 基底の列ベクトルをそのまま横に並べれば正則行列Pになります。 つまり、 P= (1,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) (-2,2,0,0) P^(-1)= (1/2,0,0,-1/4) (1/2,0,0,1/4) (0,1,0,0) (0,0,1,0) となりますので P^(-1)AP= (-3,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) と を計算すれば対角化されますね。 対角要素はもちろん固有値（-3と3個の1）になることは言うまでもありません。
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- arrysthmia
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rank(A-1E)=3 を正しく求めたのは、立派。 だけど、せっかく求めたのだから、この値が 固有値 1 の重複度 3 と一致していることから、 A が対角化可能であることを判定できないと。 この部分、勘違いがあるようなので、 教科書を復習のこと。 質問の A を対角化するだけなら、 (x,y,z,w) を (x,w) と (y,z) に分解するのが、 簡単。
- Tacosan
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t^(1,0,0,2) は z=2x を満たすの?
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