行列の対角化可能性と固有値
- 行列Ａの対角化可能性を検証し、正則行列Ｐを求めてP^(-1)APを対角行列にする問題です。
- 固有値を計算すると、Φ(x)=x(x-1)^2の場合、固有値はx=0,1となります。
- しかし、Ｐ^(-1)APを求めても対角行列にならないため、行列Ａは対角化不可能な場合があります。
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行列
｜－１ ０ ２｜ ｜－１ １ １｜ ｜－１ ０ ２｜ 行列Ａを対角化可能ならば、正則行列Ｐを求めてP^(-1)APを対角行列にせよ。という問題で、 自分で計算し、 Φ(x)=x(x-1)^2 となって 固有値はx=0,1 ですよね？ そしてx=1のとき、Ｗ１の基底が１つ、たとえば （１ ０ １）t と （０ １ ０）t そしてx=2のとき、Ｗ２の基底が２つでてきました。たとえば （２ １ １）t これらをくっつけて、Pを ｜１ ０ ２｜ ｜０ １ １｜ ｜１ ０ １｜ としてさらにＰ^(-1)をもとめてもP^(-1)APが対角行列になりません！ 何回もやったので計算間違いはないはずなのですが、どこがいけないのでしょうか・・・ ちなみに答えはないのですが、基底が３つ出てくるのに対角化できないことってあるのでしょうか？？ 確認をおねがいします！
- rousei
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> そしてx=1のとき、Ｗ１の基底が１つ、たとえば > （１ ０ １）t と （０ １ ０）t > そしてx=2のとき、Ｗ２の基底が２つでてきました。たとえば > （２ １ １）t そしてx=1のとき、Ｗ１の基底が２つ、たとえば （１ ０ １）t と （０ １ ０）t そしてx=0のとき、Ｗ２の基底が１つでてきました。たとえば （２ １ １）t ですね． 単なる書き損ないと思いますが． P は書いてあるとおり ｜１ ０ ２｜ ｜０ １ １｜ ｜１ ０ １｜ でいいわけです． 書いてあることを見る限り(上の書き損ないは別にして)， 間違いはないようですね． P^(-1) が書いてありませんが，もしかしてそこですかね． やってみましたところ Ｐ^(-1) は ｜－１ ０ ２｜ ｜－１ １ １｜ ｜ １ ０ －１｜ です． もちろん，P^(-1) P は単位行列になっていますし， P^(-1) A P は ｜ １ ０ ０｜ ｜ ０ １ ０｜ ｜ ０ ０ ０｜ になっています．
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