3×3行列ジョルダン標準正規

質問

ジョルダン細胞の数と次数の考え方。
間違っていたら指摘して下さい。

3×3行列について
(1)固有値が3つ異なる場合
α≠β≠γ
それぞれの固有空間の階数(rank)は、2なので、それぞれの固有空間の次 元は1次元。
従って、ジョルダン細胞の次元は1次。1つの固有値に対するジョルダン細胞の数も1個。
J=J(α,1)+J(β,1)+J(γ,1)
(2)
固有値が3重根の場合
(1)固有空間のrankが2の場合
固有空間の次元は、3-2=1次元。
固有ベクトルは、1つだけ。
よってジョルダン細胞は1個。
行列が3次なので、3次のジョルダン細胞が1個。
J=J(α,3)

ここで、(A-αE)^2≠0、(A-αE)^3=0になるが、この計算は不要。

(2)固有空間のrankが1の場合
固有空間の次元は、3-1=2次元。
2次元上で独立な固有ベクトルは、2つ以上取れる。
ジョルダン細胞の数は2個。
3次元行列であるから、2個のジョルダン細胞は、2次1個と1次1個になる。
よって、J=J(α,1)+J(α,2)

(3)固有値が2個が重根、1個単根の場合。
固有値=α(重根)、βとする。
(1)αに対する固有空間のrankが2の場合
固有空間の次元は、3-2=1次元。
ジョルダン細胞の数は1個。
1次元だからαの固有ベクトルは1個だけ。
βは単根だから、固有空間の次元は1次元で固有ベクトルは1個だけでジョルダン細胞の次元も1次。3次元行列だから、αに対するジョルダン細胞の次数は、3-1=2次元でなければいけない。
よって、J=J(α,2)+J(β,1)

(2)αに対する固有空間のrankが1の場合
固有空間の次元は3-1=2次元。
2次元なので、固有ベクトルは2つ以上取れる。
ジョルダン細胞は2個でそれぞれ1次。
βに対するジョルダン細胞は上記と同じ。
よって、J=J(α,1)+J(α,1)+J(β,1)

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

「固有空間のrank」って、何でしょうか？
行列 A の固有値 λ に対する固有空間の
次元は、dim Ker(A-λE) です。
rank (A-λE) は、行列 A-λE の階数であって、
空間 Ker(A-λE) の階数とは言いません。

そこを訂正すれば、言おうとしていることの
内容は合ってるんじゃないかな。

あと、A = αE の場合が抜けてない？

補足

固有空間をつくる行列の階数ですね。間違って用語を使ってました。
A=λE
の場合は、Aがすでに「対角化」しているので省きました。
rank(A-λE)=0
で固有空間の次元が3なので、単位行列によって対角化できます。