３×３行列の固有値が重解をとる時の対角化可否の判別

質問

３×３行列A
1　2　2　
0　2　1
-1　2　2
を計算すると、固有値が１,2(重解）となりました。
変換行列Paは
-1　2　0
-1　1　0
1　0　1
としました。

また、３×３行列B
3　0　-1
0　2　0
-1　0　3
を計算すると固有値が2(重解）,4となりました。
変換行列Pbは
1　0　-1
0　1　0
1　0　1
としました。

計算していくと１番目の行列Aが対角化不可で、ジョルダン標準形になりました。
２番目の行列Bは対角化されました。（エクセルを使って確認もしたので多分合っていると思います）
実際にP-1APを計算する前に、対角化の可否をどう判別すればいいでしょうか？
定義も含めて、具体的に判別の過程を書いて頂けたら助かります。
助けてください・・・。

回答No.3

reiman · ベストアンサー

うっかり書き間違えたので訂正する。

「Aの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(A)=3-2=1」
↓
「Aの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(A-2E)=3-2=1」

及び

「Bの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(B)=3-1=2」
↓
「Bの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(B-2E)=3-1=2」

の2ヶ所。

改めて全て書くと以下の様になる。

正方行列が対角化可能であるかどうかは
その正方行列の全ての固有値それぞれについて
固有値に対する固有空間の次元が
固有値の重複度に等しいかどうかを見ればよい。
全て等しければ対角化可能であり
等しくないものが一つでもあれば対角化不可である。

Aの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(A-2E)=3-2=1
でありAの固有値2の重複度に等しくないからAは対角化不可。

Bの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(B-2E)=3-1=2
でありBの固有値2の重複度に等しいからBは対角化可能。

ちなみにBは実対称行列になっているから
実対称行列は直交行列によって対角化されるという定理を考えれば
このようなことをしないでも対角化可能であることは瞬時に分る。

お礼

ありがとうございます

補足

ご回答ありがとうございます。
丁寧なご回答のおかげでもう少しで納得できるような気がするのですが、

Aの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(A-2E)=3-2=1

について、今「固有値に対する固有空間の次元」について考えているのですが、残念ながら僕の頭では定義と回答がどこがどう対応しているのか理解できません。

3は何を表しているのでしょうか？
Rank(A-2E)は言葉で表すと何でしょうか？

回答No.4

reiman

3は何を表しているのでしょうか？
>3は正方行列Aの次数。

Rank(A-2E)は言葉で表すと何でしょうか？
>固有値2に対する固有ベクトルを求める方程式の係数行列(A-2E)の階数。

Aの固有値2に対する固有ベクトルvは
(A-2E)v=0
を満たすがこれを満たすvの解空間の次元は
(Aの次数)-rank(A-2E)
であるからこれが
Aの固有値2に対するAの固有空間の次元である。

定理：
n次正方行列Hに対して
Hv=0
を満たすn次列ベクトルv全体からなるベクトル空間の次元は
n-rank(H)
である。

お礼

ありがとうございました。全ての疑問を解決することができました。

回答No.2

reiman

正方行列が対角化可能であるかどうかは
その正方行列の全ての固有値それぞれについて
固有値に対する固有空間の次元が
固有値の重複度に等しいかどうかを見ればよい。
全て等しければ対角化可能であり
等しくないものが一つでもあれば対角化不可である。

Aの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(A)=3-2=1
でありAの固有値2の重複度に等しくないからAは対角化不可。

Bの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(B)=3-1=2
でありBの固有値2の重複度に等しいからBは対角化可能。

ちなみにBは実対称行列になっているから
実対称行列は直交行列によって対角化されるという定理を考えれば
このようなことをしないでも対角化可能であることは瞬時に分る。

この問題は最小多項式を持ち出すほどのものではない。

回答No.1

ramayana

行列の最小多項式を求めればいいです。

３×３行列 M の固有値がα、α、β（α≠β）だったとすると、

　　Mの特性多項式 = det(X-M) = (X-α)^2・(X-β)

です。そして、

　　M が対角化可能 ⇔ (M-α)・(X-β) = 0

となります。このことは、M のジョルダン標準形を考えればすぐわかります。

ご質問の A の場合、α = 2, β = 1 で、

　　(A-2)(A-1) = (-1,2,2; 0,0,1; -1,2,0)(0,2,2; 0,1,1; -1,2,1)
　　　　　　　　　= (-2,4,2; -1,2,1; 0,0,0) ≠ 0

なので、対角化不可能だと分かります。（行列の各行を「 ; 」で区切って表示した。）

B の場合、α = 2, β = 4 で、

　　(B-2)(B-4) = (1,0,-1; 0,0,0; -1,0,1)(-1,0,-1; 0,-2,0; -1,0,-1)
　　　　　　　　　= (0,0,0; 0,0,0; 0,0,0) = 0

なので、対角化可能だと分かります。

お礼

ありがとうございます。
このような方法でも確かめることができるんですね。