線形代数 行列の対角化とユニタリー行列について

質問

線形代数　行列の対角化とユニタリー行列について
行列Aをの固有値a1,a2,.....に対して固有ベクトルをv1,v2,.....とするとAを対角化する変換行列Pは
P=(v1,v2,...)となりますよね？このとき対角化された行列は
PAP^(-1)とP^(-1)APのどちらですか？
教科書によって違うので混乱しています。
また、Aが対角化可能かどうかは具体的にはどのように判断するんですか？

というのも今までエルミート行列しか対角化したことなかったんです。
エルミート行列を対角化する変換行列はユニタリー行列であるという認識は正しいですか？
ユニタリー行列の場合変換の際に基底の大きは保存されると思います。よって大きさが変わっていいならユニタリーでなくても対角化できそうなのですが。

一般的には対角化とエルミート行列とユニタリー行列の間にはどんな関係があるのでしょうか？
迷走した質問ですみません。よろしくお願いします。

回答No.4

alice_44

No.3 補足の例は、確かに Uの転置 = U となっていますが…
H と U の並び順を間違えても対角になったのは、
Uの逆行列 = U だからです。
H が実エルミート、すなわち、対称行列ですから、
U は実ユニタリー、すなわち、直交行列になります。
よって、Uの転置 = Uの逆行列となり、
両条件は一致するのです。

回答No.3

alice_44

＞ UHU^(-1)が対角型となるとすると
＞ 固有ベクトルの組を求めUの要素をUijとして

という記述からすると、H を右から作用させて
固有行ベクトルを並べたものを U としているのでしょうか？
それだと、質問文の P=(v1,v2,…) と合わないけれども…
H を左から作用させた固有列ベクトルを並べた U に対し、
対角化は UHU^(-1) ではなく U^(-1)HU だというのが
No.1 の内容なので、無視されたとしたら悲しい。

対角化の作業は、本質的にメンドクサイもので、
素晴らしい省力化は存在しません。
固有値と固有ベクトルを求める厄介な計算は、避けられない。

その部分が済んでしまえば、後は、
固有ベクトルの組をシュミット法か何かでユニタリ化して、
固有列ベクトルを u_i とすれば、U = (u_1,u_2,…) と置いて
U^(-1)HU が対角行列です。
シュミット法を使うときには、ユニタリ化する前の固有ベクトルの
添え字を、同じ固有値に属する固有ベクトルが隣接するように
付けておくのがポイント。これを外すと、間違った変換行列が
求まります。

u_i の固有値を λ_i として、H = Σ(λ_i)(u_i)(u_i)^t という
表示もあるけれど、「対角化」には、役立たないしねぇ。

補足

例えばエルミート行列HをH=
|0 1|
|1 0|
とします。
固有値はλ1=1,λ2=-1となるので対角化した行列H'は
|1 0|
|0 -1|
となります。この変換行列Uとして
UHU^(-1)=H'すなわち
UH=H'U
となるので成分を具体的に計算するとUの成分に関する2つの独立な方程式が得られます。
u12=u11 (1)
u22=-u21 (2)
これとU^(†)U=Eの成分計算から
(u11)^2+(u21)^2=1 (3)
(u11)(u12)+(u21)(u22)=0 (4)
(u12)^2+(u22)^2=1 (5)
(1)(2)を(4)に代入して
(u12)^2=(u21)^2
が得られるのでu12=u21を選ぶと
u12=u21=u11=-u22
これと(3)から1/√2=u12=u21=u11=-u22となります。
これから実際にUHU^(-1)を計算すると確かにH'になります。
これって固有ベクトルが
(v1,v2)=t(v1,v2) (右辺は転置)
となるのでたまたまU^(-1)HUと一致するんでしょうか？つまりこの方法で求めたUはt(v1,v2)だったということでしょうか？

回答No.2

Tacosan

対角化可能性については, (理論的には) 最小多項式から調べることができます. 最小多項式が 2次の因子を持たなければ対角化可能, だったかな?
あと, エルミート行列において「ユニタリでない行列でも対角化可能」であることはあきらかです. ユニタリ行列 U で対角化できるなら, その (0 でない) スカラ倍 αU でも当然対角化できる.

回答No.1

alice_44

行列 A の対角化を PAP^(-1) と書く本と P^(-1)AP と書く本があるのは、
何を P と置くかが異なっているからです。
質問文中のように P = (v1,v2,…) と置くのであれば、P^(-1)AP が正解で、
PAP^(-1) は違います。
もし、(v1,v2,…) の逆行列を P と置けば、今度は PAP^(-1) のほうが
対角行列になりますね。

エルミート行列の対角化については、「変換行列はユニタリー行列である」というよりも、
変換行列をユニタリー行列の範囲で見つけることができる…ということです。
ユニタリーでない変換行列もあるのですが、変換行列でユニタリーなものが必ずある
…ということ。
「ユニタリー行列の場合変換の際に基底の大きは保存される」は、全く意味不明ですが、
「ユニタリーでなくても対角化できそう」は、正解です。

対角化とエルミート行列とユニタリー行列の関係ですが、
エルミート行列(を含む正規行列)は、ユニタリーな変換行列によって対角化可能である
…と言えます。

補足

回答ありがとうございます。少し理解が深まりました。
ではエルミート行列Hを対角化する変換行列をユニタリーとするにはどうしたらいいのでしょうか？
今まではエルミート行列Hを対角化するユニタリー行列をUとしUHU^(-1)が対角型となるとすると、まずHの固有値、固有ベクトルの組を求めUの要素をUijとして
UH=H'U
の成分計算とU^(†)U=Eの条件からUを決定するという方法で求めていました。これって結構めんどくさいんですが、他に簡単な方法はないでしょうか？

>「ユニタリー行列の場合変換の際に基底の大きは保存される」は、全く意味不明ですが

基底じゃなくて一般のベクトルでした。ユニタリー行列Uによってベクトルvをv'=Uvと変換するとき|v'|=|v|ということです。これってユニタリー変換特有ですよね？