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行列の対角化について
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- sosososo23
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>やってみたところ P=(5 1) (2 1) で対角化したところ(2 0) (0 -1) になりました P=(1 5) (1 2)で対角化したときは (-1 0) (0 2)となりました それでOKです。どちらも正解です。 対角行列は固有値をλ1、λ2とすると (λ1 0) (0 λ2) とかかれますね。今の場合λ1=-1、λ2=2と置いた場合とλ1=2、λ2=-1と置いた場合の対角行列の表記の違いだけです。行列を対角化するうまみは行列の冪計算が容易になるということで、結局λ1とλ2の積の値がポイントということになります。この点は参考URLを見てください。蛇足として、行列式で列と列、行と行を入れ替えるとマイナスが付くということを思い出すと (-1 0) ( 0 2) 列を替える →(0 -2) (1 0) 行を変える →(2 0) (0 -1) ということで、一緒ですね。 http://www.ipc.akita-nct.ac.jp/~yamamoto/lecture/2004/5E/linear_equations/relaxation/html/node2.html
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- koko_u_
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>Pは二通りしかないので 他にもあるよ。
補足
他にもあるのでしょうか… (10 1) (4 1) や (10 3) (4 3) のように固有ベクトルを入れていけばいいのでしょうか?
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
うんうん。 次の問題は「対角化」は固有ベクトルを入れ替えた方法で得られた (2 0) (0 -1) (-1 0) (0 2) のみなのか、他にもあるのか。だ。
補足
他にですか… Pは二通りしかないので対角化は (2 0) (0 -1) と (-1 0) (0 2) の二つしかないと思います。
- koko_u_
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やってみればわかる。 「公式」で覚えようとすると、そのような些細な問題に直面することになるでしょう。 そもそも固有ベクトルを使った対角化とはどういうものかを思い出して下さい。
補足
やってみたところ P=(5 1) (2 1) で対角化したところ(2 0) (0 -1) になりました P=(1 5) (1 2)で対角化したときは (-1 0) (0 2)となりました
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お礼
では、回答には (2 0) (0 -1) だけしか載っていなくても (-1 0) (0 2)も答えで間違いないということですね。 確かに列と行を入れ替えていけば同じ形になりますね。 ありがとうございました。