連続固有値がなす集合の濃度は、X0ですかX1ですか

質問

物理の質問ですが、数学的に厳密な 回答が頂きたいので、ここで質問します。

ヒルベルト空間が稠密ということは、濃度が　X0　と聞きました。
それなら、固有空間⊆ヒルベルト空間ですから、連続固有値のなす集合も、高々　X0　
連続固有値は、連続　X1　　じゃないことになります。
正確なところは、どうなのでしょうか？

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

N=(全自然数)
|N|=X0=(Nの濃度)
X0が可算濃度ならば
ヒルベルト空間の濃度はX0ではありません。
Hがヒルベルト空間であるとは、Hは実または複素内積空間であって、
さらに内積によって誘導される距離函数に関して完備距離空間をなすことを言います.
従って
R=(全実数)
|R|=X1=(Rの濃度)
とすると
Rはヒルベルト空間で濃度|R|=非可算X1>X0です。

ヒルベルト空間は稠密な可算濃度X0の部分集合を含むのであって
ヒルベルト空間自身の濃度は可算ではなく、非可算X1です。

Q=(全有理数)
とすると
Q⊂R
|Q|=X0
QはRで稠密
cl(Q)=R
だが
√2に収束する有理数列があるが
√2∈R-Qだから
Qは完備でないためヒルベルト空間ではありません。

お礼

可分と可算無限をゴッチャにしていました。
よくわかりました。
ありがとうございました。