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Hilbert空間って？
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恐らく、「空間」という言葉に、馴染みがないのだろうと思います。数学で用いられる「空間」という言葉は、日常的に使われる「空間」という言葉とは、若干、意味が異なるのです。普通、「空間」と言いますと、三次元的な広がりを指しますね。部屋に花が活けてあれば、心地よい和やかな空間を醸し出します。ところが、数学で「空間」と言ったときには、「集合」を指しているのです。 通常はユークリッド的な三次元空間をいうが、広義には、ある集合でその要素の間もしくはその部分集合の間に一定の数学的構造を考えるとき、その集合をいう。n 次元空間・位相空間など。 （三省堂 大辞林 第二版） 「ベクトル空間」とは、矢印のある空間ではないのです。「ベクトル空間」は、「線形空間」とも呼ばれますが、ベクトルを抽象化して「空間」に収めたものです。集合の要素の間に、どんな関係を定義するかで、いろいろな空間を作ることができます。ヒルベルト空間も、その中の一つです。他に、位相空間、ノルム空間、バナッハ空間、ルベーグ空間、内積空間などがあります。 数学では、まず最初に、用語を数学的にきっちり定義します。ここが、門外漢には、難所となるところなのですが、これは、徒に話を難しくしてしようとしているのではなく、本当は、誰にでも話がきちんと通じるためにそうしているのです。一度、定義から勉強されることをお勧めします。
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- grothendieck
- ベストアンサー率62% (328/524)
ベクトル空間と言っても必ずしも高校で習うようなベクトルではなく、和と実数倍（または複素数倍）が定義されているものの集合と考えて下さい。L2(絶対値の二乗を積分したものが有限な関数の集合)で二つの関数の内積を関数の積の積分で定義します。任意の関数を基本的な関数の組の実数倍の和で表わそうとすれば当然有限個では表わせませんから無限次元になります。無限次元空間では差が限りなく小さくなる関数列の極限が集合に属さないことが起こりえますが、極限が必ず集合に属しているとき、稠密または完備と言います。
お礼
ありがとうございます。 最初のほうは分かるんですが最後のほうが少し… 勉強しなおします。
- Mell-Lily
- ベストアンサー率27% (258/936)
”無限次元”や”稠密”、あるいは、”ベクトル空間”という用語の意味は、分かりますか？
補足
”無限次元”や”稠密”の意味は分かるんですがベクトルと結びつくと想像もつかないんです。 ベクトル空間も何となく。 高校卒業レベルの学力です。
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ありがとうございます。 定義から勉強して見ます。