直和分解(ヒルベルト空間)の証明について

このQ&Aのポイント
  • 直和分解(ヒルベルト空間)の証明について詳しく教えてください。
  • ユークリッド空間からヒルベルト空間への証明の変換方法について教えてください。
  • ユークリッド空間とヒルベルト空間における直和分解の違いについて教えてください。
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直和分解 (ヒルベルト空間)

H:ヒルベルト空間 M:Hの閉部分空間 M^⊥:Mの直交補空間     とするとき、 H= M+M^⊥ = { x+y | x∈M , y∈M^⊥ } この証明に行き詰っております。 http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/tupleRnMetric/OrthogonalComplementThrm.htm 定理:ユークリッド空間Rnは、その部分空間とその直交補空間に直和分解される ↑を参考に解いてみたのですが、ユークリッド空間R^nでのみしか証明されていませんでした。  ユークリッド空間R^n ⇒ ヒルベルト空間H に変われば、証明も変わってくると思うのですが、どのようにすればいいのでしょうか? よろしくお願いします。

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  • arrysthmia
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回答No.2

参照先の証明は、 「線型部分空間の直交集合は、補空間となる」のほうの形をとっているようです。 内積空間 H の線型部分空間 M に対して、 M⊥ を、x ∈ M⊥ ⇔ ∀y∈M, x・y = 0 で定義する。 この M⊥ が M の補空間となることを示すために、補空間の定義に沿って、 (1) M ∩ M⊥ = { 0 } (2) ∀x∈H, ∃y∈M, ∃z∈M⊥, x = y + z を示す。 (1) x ∈ M ∩ M⊥ とすると、M⊥ の定義より、x・x = 0 が成り立つ。   よって、内積の定義により、x = 0 である。 (2) M の一組の正規直交基底を { e_λ | λ∈Λ } とする。   y = Σ[λ∈Λ] (x・e_λ) e_λ   z = x - y と置くと、   e_λ が基底であることより、y ∈ M。   内積の線型性により、x・z = …中略… = 0 となる。よって、z ∈ M⊥。 もとの証明では、内積の線型性や、x・x = 0 ⇒ x = 0 などの性質を、 R^n の「自然な内積」の具体的な式形によって説明していましたが、 一般的な内積空間について証明するときには、これらは、内積の公理です。 ちょっと気になる箇所は、部分空間 M に正規直交基底が存在するのか?です。 R^n では、M に基底が存在することは自明で、あとはグラム・シュミットの直交化 によって正規直交基底を構成することができますが、H が一般の内積空間だと、 特に M が有限次元でない場合、基底が存在するかどうかが問題になります。 実は、選択公理の下では、任意の線型空間に基底が存在することが言えます。 しかし、H がただの内積空間でなく、ヒルベルト空間であることを使って、 もう少しスマートに基底の存在が示せれば、そのほうが良いと思います。

その他の回答 (1)

  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.1

前回質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4407478.html の 回答にも付記しましたが、 直交であろうとなかろうと、W が M の補空間であれば、 H が M と W の直和であることは、 「補空間」の定義そのものです。 問題が意味をなすようにするには、 「線型部分空間の直交集合は、補空間となる」または 「補空間のなかで、もとの部分空間と直交するものが存在する」 と読み替える必要がありそうです。 そう考えた上で、ヒントは、その参照先にある 「※計量実ベクトル一般において」という言葉です。 ヒルベルト空間 ⊂ 内積空間 = 計量空間 ですからね。 参照先の証明でユークリッド空間の「自然な内積」を使っている 部分を、内積空間に定義された内積に置き換えれば、そのまま 内積空間での証明になります。

xyz0122
質問者

お礼

>補空間のなかで、もとの部分空間と直交するものが存在する >と読み替える必要がありそうです。 ↑まさしく、その通りでした。すみません。 >参照先の証明でユークリッド空間の「自然な内積」を使っている >部分を、内積空間に定義された内積に置き換えれば この部分がいまいち理解できず、いま悩んでおります。 理解力が無くて申し訳ないです。

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