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ヒルベルト空間について

∀x∈H:ヒルベルト空間について  sup{<x,y>| ∥y∥≦1 y∈H}=∥x∥ を示したいのですが。 (但し、<、> はHでの内積、∥・∥は内積から入るノルムとします。) ユークリッド空間ならば、yはxと方向が同じで長さが1のベクトルだということはイメージできるのですが。ヒルベルト空間だとうまく証明できません。よろしくお願いします。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.5
  • keyguy
  • ベストアンサー率28% (135/469)

αが複素数でx,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。 (1)<y,x>=/(<x,y>) (2)<α・x,y>=α・<x,y> (3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z> (4)x≠0⇒0< <x,x> (5)<0,0>=0 そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。 ∥・∥はノルムの次の要件を満たす。 αが複素数でx,y∈Hについて (1)x≠0⇒0<∥x∥ (2)∥0∥=0 (3)∥α・x∥=|α|・∥x∥ (4)∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥ 0≦∥∥y∥^2・x-<x,y>・y∥^2・・・(*) すなわち 0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2) より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥ 等号は(*)式の右辺が0すなわち αを複素数としてy=0またはx=α・yのとき 従って sup{|<x,y>| |0≦∥y∥≦1,x,y∈H} =∥x∥・∥1∥=∥x∥ なおこの式はHがヒルベルト空間でなくても成立する。 内積の性質だけを使って導いたから当然でしょう。 内積が定義された集合であれば何でも良い。

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質問者からのお礼

お返事遅くなりました。申し訳ありません。大変丁寧な説明ありがとうございます、よく分かりました。

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その他の回答 (4)

  • 回答No.4
  • keyguy
  • ベストアンサー率28% (135/469)

釈迦に説法ですが内積の成立要件は x,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。 (1)<y,x>=/(<x,y>) (2)<α・x,y>=α・<x,y> (3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z> (4)x≠0⇒0< <x,x> (5)<0,0>=0 そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。 0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2) より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥ 等号は()内が0のときすなわち αを複素数としてy=0またはx=α・yのとき 従って sup{|<x,y>| |0<∥y∥≦1,x,y∈H}=∥x∥・∥1∥

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  • 回答No.3
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

ちょっと別解。実は左辺はmaxになるので、 <x,y>≦||x||||y||≦||x|| とy=x/||x||と置くと<x,y>=||x||^2/||x||=||x||となることからわかります。 x=0のときは別にする必要がありますが、そのときは明らかです。

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  • 回答No.2
  • keyguy
  • ベストアンサー率28% (135/469)

きちんと示しましょう。 0≦∥∥y∥^2・x-<x,y>・y∥^2 より 0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)

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質問者からの補足

回答ありがとうございます。 申し訳ありません。式の意味がよく分からないんですが教えていただけませんか?よろしくお願いします。

  • 回答No.1
  • keyguy
  • ベストアンサー率28% (135/469)

λについての実係数2次方程式 ∥λ・y-x∥^2=0 の判別式が0以下であることを使う。

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