直交補空間は線形部分空間

質問

タイトルの通りです
Ｈ：ヒルベルト空間、Ｍ^⊥：Ｍの直交補空間として
直交補空間は線形部分空間となることを示したいのですが、

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/tupleRnMetric/OrthogonalComplementThrm.htm
定理：ユークリッド空間R^nの部分空間の直交補空間は、R^nの部分空間

を参考にして解いたのですが、これだと実n次元数ベクトル空間のみでしか示していないことになると思います。

「n次元ユークリッド空間R^nは、実ヒルベルト空間」
ということより、　R^n＝Ｈ　（Ｈ：ヒルベルト空間）と認識してしまったのですが、
やっぱり　R^n＝Ｈ　は違いますよね！？

どのように解けばいいのでしょうか？
力を貸してくださると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

回答した後で、ちょっと気になったことが…
「直交補空間」という語には、既に「補空間」という語句が入っている。
「補空間」ならば、線型部分空間であることは定義の一部で、
あらためて証明するというのも変な話になる。

No.1 に書いたのは、
内積空間 H の線型部分空間 M に直交するベクトルの集合は、
H の線型部分空間になる…という話で、
だからこそ、「直交補空間」なるものが存在することになる。

お礼

Ｍ^⊥がＨの線形部分空間となる

《証明》
x_1 , x_2 ∈Ｍ^⊥　,　λ_1 , λ_2 ∈Ｒ　　　　・・・[１]
とすると、　∀ｙ∈Ｍに対して、

（λ_1 x_1 ＋ λ_2 x_2　,　ｙ）＝λ_1（x_1 , y）＋λ_2（x_2 , y）
　　　　　　　　　　　　　　 ＝０

よって、　　　λ_1 x_1 ＋ λ_2 x_2　∈Ｍ^⊥
したがって、　Ｍ^⊥は線形部分空間となる

※複素ヒルベルト空間の場合は、
[１]を　λ_1 , λ_2 ∈Ｒ　　　⇒　　　iλ_1 , iλ_2 ∈Ｃ
と考える。

_______________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
このように考えたのですが、まだ間違いとかありますでしょうか？
何度も何度もすみません。

回答No.1

arrysthmia

ユークリッド空間はヒルベルト空間のうちだが、
ヒルベルト空間はユークリッド空間だけではない。
「直交補空間は線形部分空間である」は、
ヒルベルト空間どころか、
もっと一般に、内積空間で成立する。

「内積」の定義を確認しよう。
定義に沿って、内積 (x, y) が x について線形である
ことが確認できれば、
(x_1, y) = (x_2, y) = 0　⇒　(x_1 + x_2, y) = 0
(x, y) = 0　⇒　(c x, y) = 0
を示すことができるはず。

お礼

返事が遅くなりました
ずっとネット環境のない所にいたもので…

内積の定義
（x,y+z）＝（x,y）＋（x,z）
（x,αy）＝α（x,y）

これより内積（x,y）はｘについて線形となっているんですよね？
＞… について線形であることが確認できれば、
とあるんですが、別に証明は必要ないですよね？

(x_1, y) = (x_2, y) = 0　⇒　(x_1 + x_2, y) = 0
(x, y) = 0　⇒　(c x, y) = 0
は簡単に示せると思います。
ありがとうございました！！