ベッセルの不等式（ヒルベルト空間）がわかりません。

質問

『ヒルベルト空間と線型作用素（日合、柳）』を独習しています。

ヒルベルト空間 をHとします。
e_n⊂Hが正規直交系ならば、任意のx⊂Hに対して
｜｜x｜｜＾2≧Σ｜〈x，e_n〉｜＾2
が成り立つ（ベッセルの不等式）
とあります。

この式の右辺は収束するとあるのですが、何故収束するのかがわかりません。

ヒルベルト空間上のノルムは有限の値しか取らないからなのでしょうか？
だとしたら、その根拠は何でしょう？どの定理や定義から言えるのですか？

程度の低い質問で申し訳ないのですが、どなたか教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#199771

＞左辺の｜｜x｜｜＾2はmに無関係であって、ヒルベルト空間ですから有限な値です
＞というのは、どの定義、定理から言えるのでしょうか？？

ヒルベルト空間の定義に含まれるといっていいです。定義の仕方によっては定理に
なることもあります。何を公理にするかによって定義になったり定理になったりしま
すが本質的に同じです。本によってどれがどうなるか変わりますから一概にいえま
せん。

少なくとも、Hの全ての点ｘに対して実数値｜｜x｜｜が定義されていなければなり
ません。もし、ある特別なｙについて｜｜ｙ｜｜が実数値でないとしたら、Hはヒルベ
ルト空間ではありません。

回答No.3

cockpit

一応整理しますと|
|X|^2が「発散する」とは、|X|^2がnやmなどに伴って変化し、n(m)→∞のときに|X|^2→∞となることを意味します。
対応しているnやmなどの数なしには「発散する」とはいわないので、対応がない場合は|X|^2が例えいくら大きくとも数（定数）でしかありません。

今、Xを任意にとったとします。
以降の議論はそのとってきたXに対して行うので、nに伴って変化する量ではありません。
従って、この時点でXは定数扱いされます。

「Xをひとつとる」→「nを変化させる」という順番があるので注意が必要です。

回答No.2

noname#199771

考える順番がごっちゃになっておられるのでは？
ベッセルの不等式を証明する過程で右辺の収束をいうのではなく、
ベッセルの不等式を使って右辺の収束をいうのですよね？

右辺の部分和
a_m=｜〈x，e_0〉｜＾2+｜〈x，e_1〉｜＾2+...+｜〈x，e_m〉｜＾2
の列を考えてみてください。

左辺の｜｜x｜｜＾2はmに無関係であって、ヒルベルト空間です
から有限な値です。

つまり、実数列(a_m)は上に有界かつ単調増加となって収束します。

補足

回答ありがとうございます。
自分の疑問点がだいぶすっきりしてきたのですが、

左辺の｜｜x｜｜＾2はmに無関係であって、ヒルベルト空間ですから有限な値です

というのは、どの定義、定理から言えるのでしょうか？？
すごく初歩的な質問ですいません。

回答No.1

cockpit

「任意のx⊂Hに対して、」
なのでxはfix（固定）されています。
極限はnに関してとっているので、正項級数の性質から右辺は収束します。

補足

さっそく解答いただきましてありがとうございます。

『任意のx』を取るんですよね？
『任意の』ということは、適当にx取ることになると思うのですが、
そのxの中で、ノルムが無限大に発散してしまうものはないんでしょうか？？
ないとすれば、どの定義、定理から言えるのか教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いします。