- ベストアンサー
直交変換はノルムを保つ
教科書に 「線型変換 f について、f が直交変換であるための必要十分条件は f がノルムを保つことである」 という定理が載っているのですが、どうも理解できません。 教科書には簡単な証明が載っており、 「f が直交変換ならば、明らかに f はノルム(長さ)を保っている」と記載されています。 直交変換とは内積も保つような線型変換のことですよね? 内積を保つ = ノルム(長さ)を保つ ということが明らかとなる説明をどなたかお願いします。 私は、内積を保っても、なす角が保たれなければ、ノルム(長さ)も保たれないと思ってしまいます。。。 よろしくお願いします。
- jysuper
- お礼率57% (27/47)
- 数学・算数
- 回答数6
- ありがとう数5
- みんなの回答 (6)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>教科書には簡単な証明が載っており、 証明が載ってるならそれで問題ないんだけど・・・ >私は、内積を保っても、なす角が保たれなければ、ノルム(長さ)も保たれないと思ってしまいます。。。 内積を保つということは,なす角も保つんです. ここでポイントなのは 「任意の異なるベクトルに対して内積を保つ」という 「任意性」です. 二つのベクトルをv,wがあれば,そ の方向の単位ベクトルe1=v/|v|, e2=w/|w|の 内積はなす角θのcos(θ),つまりなす角そのものであり 内積が保たれることは,すなわちなす角の保存 #これは矢印ベクトルに限らず一般のベクトルでOKなのは #シュワルツの不等式(だっけ?)でOKでしょう fが直交変換であることの定義は (f(v),f(w)) = (v,w) vのノルムの定義は |v|^2 = (v,v) だから |f(v)|^2 = (f(v),f(v))=(v,v)=|v|^2 逆に,任意のxに対して(ここ重要.xは任意) |f(x)|=|x|であるようなfに対しては 2(v,w)=|v+w|^2-|v|^2-w|^2 より 2(f(v),f(w))=|f(v)+f(w)|^2 - |f(v)|^2 - |f(w)|^2 =|f(v+w)|^2- |f(v)|^2 - |f(w)|^2 (fの線型性を利用) =|v+w|^2-|v|^2-w|^2 =2(v,w) たぶん「証明」もこんな感じでしょう.
その他の回答 (5)
すみません #5で誤記 誤 (1) OPの長さ=OQの長さ、 (2) OP'の長さ=OQ'の長さ。 正 (1) OPの長さ=OP'の長さ、 (2) OQの長さ=OQ'の長さ。
>内積を保つ = ノルム(長さ)を保つ ということが明らかとなる説明 「内積を保つ⇒ノルムを保つ」は#1によって明らかなので「ノルムを保つ⇒内積を保つ」の図形的な説明を。 線形変換fがノルムを保つとすれば、角も保つことを言えばいい。 平面上の点で考えると、2つの点PとQがfによって原点Oからの距離をそれぞれ保ったままP'とQ'に移される。 (1) OPの長さ=OQの長さ、 (2) OP'の長さ=OQ'の長さ。 位置ベクトルOPとOQの和をOR、 位置ベクトルOP'とOQ'の和をOR'とすると fの線形性よりRはR'に移される。 従って (3) ORの長さ=OR'の長さ。 (1)(2)(3)より平行四辺形POQRとP'OQ'R'が合同(潰れた平行四辺形=線分の場合も含めて)。 よって ∠POQ=∠P'OQ'。
お礼
回答ありがとうございます。 なぜ、 (1)(2)(3)より平行四辺形POQRとP'OQ'R'が合同 となるか分かりませんでした。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
突っ込みだすと, 「ノルム」や「内積」の定義からはじめないとだめだねぇ. たとえば R^2 のベクトル v = (x, y) に対して ||v|| = |x| + |y| はノルムの公理を満たし (確認してください) したがって「ノルム」なんだけど, このノルムが (普通の意味の) 直交変換で保存されないのは誰の目にもほぼ明らかでしょう.
お礼
回答ありがとうございます。 ノルムの公理を確認してみたいと思います。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんにちわ。 確か、ノルムは内積から定義されていたと思うのですが。 ノルムで計算する「内積」は、なす角の大きさも決まっていますよね・・・。
お礼
回答ありがとうございます。
- pascal3
- ベストアンサー率42% (25/59)
ベクトルのノルムは自分との内積の平方根だから、 内積が変わらないならノルムも変わらないはずですが。
関連するQ&A
- 中線定理→ノルムの証明
「中線定理が成立するならばノルム空間に内積が入る」 この証明の仕方をどなたか教えてください。 相当初心者の質問かと思いますが、なにぶんかなり現役を離れていますので。。。(汗) よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形変換が直交変換であることの証明
ネットで拾った問題です。自分の教科書には載っていないタイプの問題なので解き方がよくわかりません。 T が直交変換であることを証明するためには内積 (T(a↑),T(b↑)) をシコシコ計算し ( (a↑),(b↑) ) = ( T(a↑),T(b↑) ) を証明すればいいとは思うのですが、 (T(a↑),T(b↑)) を計算するのはだいぶメンドイです。他に方法はないのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直交行列について
A~A=AA~=Iを満たすAは直交行列(~は転置 n次元の正規直交基底をn個並べたものは直交行列 とあります 正規直交基底a1,a2,,,,anを並べた行列をAとすると A~Aは各ベクトルの内積を考えることになって ノルムは1 直交するから0→単位行列だってのはわかりますが AA~は内積を考えてるわけではないです でも計算してみると内積っぽい形をしているわけで y1をa1,a2,a3...anの第一成分を並べたベクトル ynをa1,a2,a3...anの第n成分を並べたベクトル と見れば AA~はyi(i=1,2,3...n) の各内積を考えることになり これも単位行列になるんだから結局yiも正規直交基底になっています これはなんでですか? A~A=AA~=Iだからで片付けられるとなんだか面白くないので 他に証明のやりかたあったら教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次の問題がどうしても解けません(><)どなたかわかる方いらっしゃいます
次の問題がどうしても解けません(><)どなたかわかる方いらっしゃいますか? 線形等長変換は直交変換であることを示すために以下を示せ。 (1)線形等長変換はノルムを保つ線形変換である (2)ノルムを保つ線形変換は直交変換である 数学が苦手なので、いまいち問題の意味がわかりません。なので、できれば分かりやすく解答して欲しいです(´;ω;`) よろしくお願いしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直交ウェーブレットとコンパクトサポートのメリットとは?
あまりにも基本的なことがわからなくて、すみません。最近、ウェーブレット変換について、かじりだしています。目を通している何冊かの本にはいずれも、ウェーブレットが「直交ウェーブレット」であることと「コンパクトサポート」であることがとても重要なことのように書いてあるのですが、その理由が今一はっきりしません。逆変換が存在する必要十分条件なのでしょうか?線形代数の教科書でも読みかえせば、わかりますか?わかりやすく書いてある本やサイトがあれば、併せてご紹介いただければ幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直交補空間に関する問題です。
直交補空間に関する問題です。 当方あまり数学を厳密に理解をしておりません。 以下の問題が進まずに困っております。 R4内で a1=(4 3 2 1), a2=(1 3 5 7), a3=(1 2 3 4)によって生成される部分空間をVとして、通常のユークリッド内積に関する<a1>の直交補空間をWとするとき、 x*a1 + y*a2 ∈ W となるための実数x, yに対する条件を求めよ。 -------------------------- 直交補空間自体あまり理解できていないのでそこら辺からやさしめに教えていただけると助かります。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
fが直交変換であることの定義は、 (f(v),f(w)) = (v,w) であることは認識あったのですが、 (f(v),f(v))=(v,v) でもあるとう認識が抜けていました。 これによって、ノルムを保つのは明らかで、ここからなす角が保たれるのも理解できました。 つまり、直交変換はなす角もノルム(長さ)変えない線型変換であり、直交変換であるための必要十分条件はノルムを保っていることだけでよいというのが証明内容ですね。 ありがとうございました。