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直交変換の証明

直交行列Ａの表す直交変換をfとして、ベクトルp,qのfによる像をそれぞれ p',q'としたとき p'・q'=p・q と pとqのなす角とp'とq'のなす角を等しいことを証明したいのですが・・。 うまく左辺と右辺の関係を式に出来ずに進めません。 どう証明していけばいいのでしょうか？ よろしくお願いします！

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^*は転置(直交行列をユニタリ行列おきかえると共役転置) p'=…

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  • keyguy
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^*は転置(直交行列をユニタリ行列おきかえると共役転置) p'=A・pかつq'=A・qであるから (p',q')=(A・p,A・q)=(A・p)^*・(A・q)=p^*・A^*・A・q=p^*・(A^*・A)・q=p^*・q=(p,q) ここでAは直交行列だからA^*・A=E(定義)であることを使った。 なお pとqのなす角の余弦は(p,q)/√((p,p)・(q,q)) p'とq'のなす角の余弦は(p',q')/√((p',p')・(q',q'))

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