変換行列の性質について

質問

正方行列A、Bは相似であり対角化された行列Bについて、　B= P^-1 A P　を満たすP^-1、Pを得たとします。（P^-1はPの逆行列）

このとき、

１．P^-1とPが直交するとき、変換Aはどのような変換になりますか。

２．Pを構成する各列ベクトル（あるいはP^-1を構成する各行ベクトル）が互いに直交するとき、変換Aはどのような変換になりますか。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

＞・・・変換Ａの種類毎にその固有ベクトルがどうなるかを・・・

　（まずその種類も問題になりますが）もしかすると一般論があるのかも知れませんが、自分は知りません。普通に良く調べられているのは、やはり、内積と2次形式論に関連する、対称・反対称，エルミート・歪エルミートとか、それらを少々一般化した正規行列の場合でしょう。

　これらのケースでは、実対称なら必ず実固有値で固有空間は直交し対角化可能とか、実反対称なら固有値は必ず虚数とか、可換な正規行列は固有ベクトルを共有し同時対角化可能とか、いろいろ綺麗な結果が出てきます。

　ただ固有ベクトル（空間）というより、対角化された時の標準形の構造と固有値の値の方が、より本質的かも知れない。この立場では、変換行列（固有ベクトル）はあくまで、標準形を得るための手段です。

　標準形は線形変換を特徴付けますが、ある標準形が対称行列から得られたとしても、それを任意の正則行列で相似変換してやれば（任意の基底に移れば）、表現行列は容易に非対称化できたりするからです。

参考：
　線形代数―行列とその標準形 (シリーズ新しい応用の数学 16)，伊理正夫・韓大瞬，教育出版．
　一般線形代数，伊理正夫，岩波書店．

回答No.2

noname#221368

＞１.と２.が同値なのは自明？かな？

　２．よりＰ^t・P＝λ（対角行列）。適当なスケール変換（対角行列）Ｓがあり、Ｓ^t・λ・Ｓ＝Ｅとできるのは自明（Ｓ^t＝Ｓ，Ｅ：単位行列）。

　そこでＱ＝Ｐ・Ｓとすれば、Ｑ^t・Ｑ＝(Ｓ^t・Ｐ^t)(ＰＳ)＝Ｓ^t・(Ｐ^t・Ｐ)・Ｓ＝Ｓ^t・λ・Ｓ＝Ｅで、Ｑは直交変換。

　Ｑ＝Ｐ・Ｓより、Ｐ＝Ｑ・Ｓ^(-1)。P^(-1)＝S・Q^(-1)＝S・Q^t（Ｑが直交変換だから）。

　よって、Ｐ^(-1)・Ａ・Ｐ＝μ（対角行列）なら、

　　Ｐ^(-1)・Ａ・Ｐ＝(S・Q^t)・Ａ・(Ｑ・Ｓ^(-1))＝S・(Q^t・Ａ・Ｑ)・Ｓ^(-1)＝μ

から、

　　Q^t・Ａ・Ｑ＝Ｓ^(-1)・μ・Ｓ＝μ（Ｓとμが対角行列だから）

なので、条件２．は、Ｐが直交行列である事と実質的に同等。もちろんＰとＱは違います。なので実質と言っています。

　ところで、質問の意図は何ですか？。

お礼

丁寧な証明いただきありがとうございました。

質問の意図は変換Ａの種類毎にその固有ベクトルがどうなるかを知りたかったのです。

回答No.1

noname#221368

＞１．P^-1とPが直交・・・

　行列が直交とは、自分はほとんど聞いたことがありません。もしかしてＰ^t・Ｐ＝Ｅ（^tは転置，Ｅは単位行列）の事ですか？。そうであれば、２．と実質的に同値です。

　２．は実質的にＰが直行またはユニタリー行列である事を言っています。それらで対角化されるＡの代表は、実対称・反対称，複素エルミート行列などです。

　直交（ユニタリー）行列で対角化されるのは、直交行列ばかりだと思っているなら、ちょっと認識が甘いですよ。

お礼

＞もしかしてＰ^t・Ｐ＝Ｅ（^tは転置，Ｅは単位行列）の事ですか？

そうです。

＞そうであれば、２．と実質的に同値です。

１.と２.が同値なのは自明？かな？