行列の和の逆行列について

質問

情報処理系の数学（カルマンフィルタとか）では（A+B+C）^(-1)とか（A+BCF）^(-1)のように行列の和（あるいは行列と行列の積の和）の逆行列の表式があり、公式のようなものが与えられていたりします。その中で例えば（A+B+C）^(-1)でA,B,Cとは何かと言うと行列（普通は正方行列？）なわけですが、例えば単に1つの値（スカラー）であった場合は逆数というのは自然な拡張としてあり得ると思います。1行1列の行列の対角成分だけの行列と見なすわけです。これはいいだろうと思います。問題はAなどがベクトルだったときです。これは計算できないということでいいでしょうか。ベクトルだったら1行N列の行列（N行1列でも）ということであり、逆行列が定義できないということになるでしょうか。カルマンフィルタなどではベクトルではないかと思うものが式の中に入っているのですが。Rで実験してみるとAの逆行列はsolve(A)だけで求まります。Aがスカラーだったら予想どおり逆数なります。ベクトルだったらエラーです。やはりベクトルだと当然ダメということでしょうか。

回答No.4

f272

> それはどんなものなのでしょうか。いわば逆ベクトルというものですが、初等数学の範囲で定義されているものでしょうか。

vの随伴ベクトルuを使って，w=(u v)^(-1) uと定義する
と書いた通りです。十分に初等的だよね。
正方行列であれば行列Aと行列Bが互いに逆行列の関係にあれば
ABA=A，BAB=B，ABの転置行列=AB，BAの転置行列=BA
ですが，上記でvとvから定義されるwの間には
vwv=v，wvw=w，vwの転置行列=vw，wvの転置行列=wv
と言う関係があります。

お礼

回答ありがとうございます。演算そのものは十分初等的ですが、定義にif文が着くようになったと言うのは初耳でした。if(スカラ）、if(ベクトル)、 if(マトリックス）です。初等的には、逆行列はif(マトリクス）の場合だけ定義されていた（それができないと言うことも含めて）と思っていたので。学問が進むと定義も変わるのだな思いました。逆行列という言葉の他に一般化逆行列というものもあり、発展的に別のものが定義されたのだと理解するのかなと思いますが。

回答No.3

f272

普通にできたけど...
m <- matrix(1:4, 2, 2)
solve(m)
library(MASS)
v <- c(1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0)
ginv(v)

お礼

回答ありがとうございます。ライブラリMASSを読んで関数ginvでベクトルの逆(行列）ができたわけですね。それはどんなものなのでしょうか。いわば逆ベクトルというものですが、初等数学の範囲で定義されているものでしょうか。ベクトルどうしの積には内積・外積・テンソル積があり、マトリックスの積の結果が単位行列（これもマトリックス）になるそういうものが逆行列ということとどういう関係にあるのだろうと思うのですが。おそらく定義の問題なんだろうと思いますが。（定義なので理論を問うことはできず、そう定義した事情について因みに聞いてみるということはあろうかと思うのですが）

回答No.2

178-tall

↓ 参考 URL
Matrix Inversion Identities
など、ご覧ください。

参考URL：

http://www0.cs.ucl.ac.uk/staff/g.ridgway/mil/mil.pdf

回答No.1

f272

行列の和とは関係ない話ですね。
例えばベクトルvがあったとき，逆行列のようなものとしてはvの随伴ベクトルuを使って，w=(u v)^(-1) uと定義するのが普通です。

お礼

回答ありがとうございます。データ解析ソフトのRですが、ベクトルVの逆数（コマンドではsolve(V)）を取ろうとするとエラーとなります。スカラーだと逆数です。時系列解析の中のフィルタリングのところで出てきた問題であり、Rを利用することが前提です。Rとしてはベクトルの逆数はNGです。自分で例外処理を考えておいて、ベクトルだったらWを随伴ベクトルを使って定義すれば問題ないということにはなるかなと思います。自然な拡張として自前で定義すればいいということでしょうか。Rの標準処理には含まれないというのをどう解釈するか、なのですが。