（４×４）行列の逆行列の求め方について

質問

以下の問題がわかりません。
どなたか簡単な解き方がわかる方いらっしゃいませんでしょうか。

下の行列について、逆行列を求めなさい。
(4×4)行列で要素は以下。

a -b -c -d
b a -d c
c d a -b
d -c b a

答えは、

1/(a^2+b^2+c^2+d^2)*(以下の要素の行列)
a b c d
-b a d -c
-c -d a b
-d c -b a

余因子行列を使って一つ一つの要素を16回計算すれば出るのですが、
時間がかかりすぎてしまいます。
何か良いやり方はないでしょうか。

回答No.3

ltx78 · ベストアンサー

この問題では，行列の行/列ベクトルが直交系を構成しており，
かつ各行/列ベクトルのノルムが等しい，というのがポイントになっています．

与えられた行列を，[X1^T X2^T X3^T X4^T] とします．`^T'は行列の転置です．
つまり，X1 = (a b c d)^Tです．X2, X3, X4も同様にします．

XとYの標準内積を<X, Y>で表します．
つまり，<X, Y> = X * Y^T です．
このとき，
<X1, X1> = a*a + b*b + c*c + d*d = a^2 + b^2 + c^2 + d^2
となります．
<X2, X2>, <X3, X3>, <X4, X4>も同じ値になりますね（確かめてみてください）．
また，<X1, X2>はA No.1で示したように，0になります．
<X1, X3>, <X1, X4>, <X2, X3>, <X2, X4>, <X3, X4>も同様です．

ということは，
<X1, X1> <X1, X2> <X1, X3> <X1, X4>
<X2, X1> <X2, X2> <X2, X3> <X2, X4>
<X3, X1> <X3, X2> <X3, X3> <X3, X4>
<X4, X1> <X4, X2> <X4, X3> <X4, X4>
という行列は，対角成分が a^2 + b^2 + c^2 + d^2 で，残りが0の対角行列になります．

後は，どのようにこの行列を作るか，です．

お礼

返信が遅れて申し訳ありません。

私の勉強不足にも関わらず、
大変丁寧な説明ありがとうございます。

非常にわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.4

mtaka_2007

問題の行列を(a^2+b^2+c^2+d^2)の平方根で割れば、各列は、正規直交系となっています。この行列をUと置けばUU'=E（U'はUの転置行列）。従って問題の行列の転置行列を求め、ノルムで割れば逆行列が求まります。

回答No.2

hgmrog

簡単なとき方というか，参考までに．

a -b -c -d
b a -d c
c d a -b
d -c b a

この形の行列は四元数Hの4×4行列での表現になってます．
だから一般の四元数

a + bi + cj + dk

のノルムがa^2+b^2+c^2+d^2で逆元が

a - bi - cj - dk

で与えられることを知っていれば逆行列は簡単に

1/(a^2+b^2+c^2+d^2)*(以下の要素の行列)
a b c d
-b a d -c
-c -d a b
-d c -b a

となるのがわかります．

補足

ご回答ありがとうございます。

低レベルで申し訳ないのですが、四元数というのを初めて聞きました・・・。
早速ネットで調べてみたのですが、複雑すぎて何が何やら(^^;
もし、公式のようなものでしたら教えて頂けないでしょうか。

回答No.1

ltx78

与えられた行列ですが，それぞれの行ベクトル同士，もしくはそれぞれの列ベクトル同士が直交しているのにはお気づきでしょうか？
たとえば，第1行(a -b -c -d)と第2行(b a -d c)との内積を計算すると，
a*b + (-b)*a + (-c)*(-d) + (-d)*c = ab - ab + cd - cd = 0
となりますね．

補足

ご回答、ありがとうございます。

直交していることはわかったのですが、
その先をどうすればよいのかがわかりません…。

よろしければ、直交するとどのようなことが成り立つのか教えて頂けないでしょうか。
知識がなくて申し訳ありません。